Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики ${\displaystyle p}$ , задаётся формулой ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля , эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом , однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства

Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо простой характеристики ${\displaystyle p}$ (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца ${\displaystyle R}$ определяется формулой ${\displaystyle F(x)=x^{p}}$ . Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец , так как ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты , кроме первого и последнего, делятся на ${\displaystyle p}$ ).

Если ${\displaystyle \varphi :R\to S}$ — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики ${\displaystyle p}$ , то ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p}}$ , то есть: ${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi }$ .

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики ${\displaystyle p}$ ) в себя.

Если кольцо ${\displaystyle R}$ не содержит нетривиальных нильпотентов , то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если ${\displaystyle x}$ — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени ${\displaystyle n}$ , то ${\displaystyle (x^{n-1})^{p}=0}$ . Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен , даже если ${\displaystyle R}$ является полем. Например, пусть ${\displaystyle R=\mathbb {F} _{p}(t)}$ — поле рациональных функций с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , тогда функция ${\displaystyle t}$ не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле ${\displaystyle K}$ называется совершенным , если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки

Рассмотрим конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . Согласно малой теореме Ферма , все элементы этого поля удовлетворяют уравнению ${\displaystyle x^{p}=x}$ . Уравнение ${\displaystyle p}$ -й степени не может иметь более ${\displaystyle p}$ корней, следовательно, в любом расширении поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики ${\displaystyle p}$ .

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению ${\displaystyle x^{p^{k}}=x}$ и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками ${\displaystyle k}$ -й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками ${\displaystyle x\mapsto x^{p^{k}}}$ .

Порождающий элемент группы Галуа

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым . Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ — конечное поле, где ${\displaystyle q=p^{n}}$ . Эндоморфизм Фробениуса ${\displaystyle F}$ сохраняет элементы простого поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , поэтому он является элементом группы Галуа расширения ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p}}$ . Оказывается, что эта группа является циклической и порождается ${\displaystyle F}$ . Порядок этой группы равен ${\displaystyle n}$ , так как эндоморфизм ${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$ действует на ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}}$ основное поле фиксируется ${\displaystyle n}$ -й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается ${\displaystyle F^{n}}$ и имеет порядок ${\displaystyle k}$ .

Эндоморфизм Фробениуса для схем

См. также

• Первообразный корень из единицы

Литература

• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М. : Мир, 1998.
• Фробениуса автоморфизм — статья из Математической энциклопедии . Л. В. Кузьмин
• Фробениуса эндоморфзим — статья из Математической энциклопедии . Л. В. Кузьмин

В другом языковом разделе есть более полная статья (англ.) . Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода