Критической точкой дифференцируемой функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ называется точка, в которой её дифференциал обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все частные производные первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна. В простейшем случае n =1 это значит, что производная ${\displaystyle f'}$ в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции .

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ , и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий ${\displaystyle f:N^{n}\to M^{m}}$ . В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения ${\displaystyle f}$ в ней меньше максимально возможного значения, равного ${\displaystyle \min\{n,m\}}$ .

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения , вариационное исчисление , теория устойчивости , а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф . Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов , определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления . Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями .

Формальное определение

Критической (или особой или стационарной ) точкой непрерывно дифференцируемого отображения ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ называется такая точка ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ , в которой дифференциал этого отображения ${\displaystyle f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$ является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств ${\displaystyle T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m}}$ , то есть размерность образа преобразования ${\displaystyle f_{*}(x_{0})}$ меньше ${\displaystyle \min\{n,m\}}$ . В координатной записи при ${\displaystyle n=m}$ это означает что якобиан — определитель матрицы Якоби отображения ${\displaystyle f}$ , составленной из всех частных производных ${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}}$ — обращается в точке ${\displaystyle x_{0}}$ в нуль . Пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ в этом определении могут быть заменены на многообразия ${\displaystyle N^{n}}$ и ${\displaystyle M^{m}}$ таких же размерностей.

Теорема Сарда

Значение отображения в критической точке называется его критическим значением . Согласно теореме Сарда , множество критических значений любого достаточно гладкого отображения ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для тождественно постоянного отображения любая точка является критической).

Отображения постоянного ранга

Если в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ранг непрерывно дифференцируемого отображения ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ равен одному и тому же числу ${\displaystyle r}$ , то в окрестности этой точки ${\displaystyle x_{0}}$ существуют локальные координаты ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ , а в окрестности её образа — точки ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ — существуют локальные координаты ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{m})}$ с центром в ${\displaystyle y_{0}}$ , такие, что в них отображение ${\displaystyle f}$ задается соотношениями :

${\displaystyle y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{r+1}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.}$

В частности, если ${\displaystyle r=n=m}$ , то существуют локальные координаты ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ и локальные координаты ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ с центром в ${\displaystyle y_{0}}$ , такие, что в них отображение ${\displaystyle f}$ является тождественным.

Случай m = 1

В случае ${\displaystyle m=1}$ данное определение означает, что градиент ${\displaystyle \nabla f=(f'_{x_{1}},\ldots ,f'_{x_{n}})}$ в данной точке обращается в нуль.

Предположим, что функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ имеет класс гладкости не ниже ${\displaystyle C^{3}}$ . Критическая точка функции f называется невырожденной , если в ней гессиан ${\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}}$ отличен от нуля. В окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция f имеет квадратичную нормальную форму ( лемма Морса ) .

Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является теорема Тужрона: в окрестности вырожденной критической точки функции f , дифференцируемой бесконечное число раз ( ${\displaystyle C^{\infty }}$ ) конечной кратности ${\displaystyle \mu }$ существует система координат, в которой гладкая функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет вид многочлена ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ степени ${\displaystyle \mu +1}$ (в качестве ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ можно взять многочлен Тейлора функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle 0}$ в исходных координатах) .

При ${\displaystyle m=1}$ имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция ${\displaystyle f}$ , определенная во всем пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица ${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )},}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,}$ в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой . Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума) .

Случай n = m = 2

В случае n=m=2 мы имеем отображение f плоскости на плоскость (или двумерного многообразия на другое двумерное многообразие). Предположим, что отображение f дифференцируемо бесконечное число раз ( ${\displaystyle C^{\infty }}$ ). В этом случае типичные критические точки отображения f суть те, в которых определитель матрицы Якоби равен нулю, но её ранг равен 1, и следовательно, дифференциал отображения f в таких точках имеет одномерное ядро ${\displaystyle \ker \,f_{*}}$ . Вторым условием типичности является то, что в окрестности рассматриваемой точки на плоскости-прообразе множество критических точек образует регулярную кривую S , и почти во всех точках кривой S ядро ${\displaystyle \ker \,f_{*}}$ не касается S , а точки, где это не так, изолированы и в них касание имеет первый порядок. Критические точки первого типа называются точками складки , а второго типа — точками сборки . Складки и сборки являются единственными типами особенностей отображений плоскости на плоскость, устойчивыми относительно малых возмущений: при малом возмущении точки складки и сборки лишь немного перемещаются вместе с деформацией кривой S , но не исчезают, не вырождаются и не рассыпаются на другие особенности.

Теорема Уитни. Если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка складки или точка сборки, то её окрестности существуют локальные координаты ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ , а в окрестности её образа ${\displaystyle y_{0}}$ — локальные координаты ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ с центром в ${\displaystyle y_{0}}$ , такие, что в них отображение ${\displaystyle f}$ задается соотношениями

• ${\displaystyle y_{1}=x_{1}^{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \ }$ (складка),

• ${\displaystyle y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \ }$ (сборка).

Эта теорема была доказана Хасслером Уитни в 1955 г. и стала одним из первых результатов теории катастроф . Современный вариант доказательства этой теоремы, основанный на применении более поздних результатах теории особенностей дифференцируемых отображений, приведен, например, в .

Теорема Уитни показывает, что складка и сборка реализуются как особенности проектирования гладкой поверхности, заданной в пространстве ${\displaystyle (x_{1},x_{2},y_{1})=0}$ уравнением ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},y_{1})=0}$ , на плоскость ${\displaystyle (x_{2},y_{1})}$ (горизонтальная плоскость на рисунке) вдоль оси ${\displaystyle x_{1}}$ (вертикальная ось на рисунке). В нормальных координатах из теоремы Уитни, функция ${\displaystyle F=x_{1}^{2}-y_{1}}$ для складки и ${\displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1}}$ для сборки. Множество критических точек (кривая S на поверхности F =0) изображена красной линией, а её образ на плоскости-образе изображён пурпурным цветом. В случае сборки образ кривой S имеет особенность, называемую каспом (или точкой возврата).

См. также

• Лемма Ферма
• Индекс критической точки
• Кратность критической точки
• Формула произведения корангов

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
• Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов . . Матем. обр., 2016, № 3(79), 49–65.
• Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов . . Матем. обр., 2017, № 3(83), 13–27.

Примечания