Пусть задана функция ${\displaystyle f(x,y)}$ . Тогда каждая из её частных производных (если они, конечно, существуют) ${\displaystyle \partial f(x,y) \over \partial x}$ и ${\displaystyle \partial f(x,y) \over \partial y}$ , которые называются также частными производными первого порядка , снова являются функцией независимых переменных ${\displaystyle x,y}$ и может, следовательно, также иметь частные производные. Частная производная ${\displaystyle {\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)}$ обозначается через ${\displaystyle {\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}}$ или ${\displaystyle f_{xx}''}$ , а ${\displaystyle {\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)}$ через ${\displaystyle \partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}}$ или ${\displaystyle f_{xy}''}$ . Таким образом,

${\displaystyle {\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}=f_{xx}''}$ , ${\displaystyle {\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}}=f_{xy}''}$

и, аналогично,

${\displaystyle {\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x\partial y}}=f_{yx}''}$ , ${\displaystyle {\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y^{2}}}=f_{yy}''}$ .

Производные ${\displaystyle f_{xx}'',f_{xy}'',f_{yx}''}$ и ${\displaystyle f_{yy}''}$ называются частными производными второго порядка . Определение: частной производной второго порядка от функции ${\displaystyle z=f(x;y)}$ дифференцируемой в области ${\displaystyle D}$ , называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: ${\displaystyle \partial ^{3}f \over {\partial x^{3}}}$ , ${\displaystyle \partial ^{3}f \over {\partial y\partial x^{2}}}$ , ${\displaystyle \partial ^{3}f \over {\partial y^{2}\partial x}}$ и т. д.

Это заготовка статьи по математике . Помогите Википедии, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Оформить статью по правилам . Добавить иллюстрации . Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.