Теорема Юнга — неравенство на диаметр и радиус множества точек в любом евклидовом пространстве . Названо в честь Генриха Юнга.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — компактное множество диаметра ${\displaystyle d}$ ; то есть,

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|p-q\|\}}$

Тогда существует замкнутый шар с радиусом

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},}$

который содержит ${\displaystyle K}$ . Равенства достигается для правильного n - симплекса .

2-мерный случай

Наиболее распространенным является случай плоскости , то есть ${\displaystyle n=2}$ . В этом случае неравенство утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Это неравенство достигается для равностороннего треугольника

${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Вариации и обобщения

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества ${\displaystyle K}$ в любом метрическом пространстве выполняется

${\displaystyle {\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d}$

Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек. Второе следует из того, что шар радиуса d , центрированный в любой точке ${\displaystyle K}$ , будет содержать все ${\displaystyle K}$ .

В дискретном метрическом пространстве, то есть пространстве, в котором расстояния между любой парой различных точек равны достигается второе неравенство. Первое неравенство достигается в инъективных пространствах , таких как расстояние городских кварталов на плоскости.

См. также

• Неравенство Юнга

Литература

• Радемахер Г. , Тёплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления . — (выпуск 10 серии " Библиотека математического кружка ").