Interested Article - Сумма Римана

Четыре метода суммирования по Риману для аппроксимации области, расположенной между кривой и осью абсцисс. Аппроксимация правым и левым методами производится с использованием правых и левых предельных точек на каждом подынтервале соответственно. Методы максимума и минимума осуществляют аппроксимацию с использованием наибольшего и наименьшего значений предельных точек на каждом подынтервале соответственно.

Сумма Римана — один из механизмов определения интеграла через сумму вида . Используется в определении интеграла Римана . Названа в честь первооткрывателя, Бернхарда Римана .

Определение

Пусть является функцией определённой на подмножестве на вещественной прямой . замкнутый интервал содержащийся в . является разбиением , в котором .

Сумма Римана функции с разбиением определяется следующим образом:

где . Выбор в данном интервале является произвольным. Если для всех , тогда называется левой суммой Римана . Если , тогда называется правой суммой Римана . Если , тогда называется средней суммой Римана . Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой .

Если Сумма Римана представляется в виде:

,

где является точной верхней границей множества на интервале , то называется верхней суммой Римана . Аналогично, если является точной нижней границей множества интервале , то называется нижней суммой Римана .

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения из интервала ) находится между нижней и верхней суммами Римана.

Если для функции и отрезка существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора ), то этот предел называют интегралом Римана функции на отрезке и обозначается .

Литература

Источник —

Same as Сумма Римана