Сумма Римана — один из механизмов определения интеграла через сумму вида ${\displaystyle \sum f(x)\Delta x}$ . Используется в определении интеграла Римана . Названа в честь первооткрывателя, Бернхарда Римана .

Определение

Пусть ${\displaystyle f:D\rightarrow R}$ является функцией определённой на подмножестве ${\displaystyle D}$ на вещественной прямой ${\displaystyle R}$ . ${\displaystyle I=[a,b]}$ — замкнутый интервал содержащийся в ${\displaystyle D}$ . ${\displaystyle P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}}$ является разбиением ${\displaystyle I}$ , в котором ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b}$ .

Сумма Римана функции ${\displaystyle f}$ с разбиением ${\displaystyle P}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})}$

где ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i}}$ . Выбор ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ в данном интервале является произвольным. Если ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$ для всех ${\displaystyle i}$ , тогда ${\displaystyle S}$ называется левой суммой Римана . Если ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$ , тогда ${\displaystyle S}$ называется правой суммой Римана . Если ${\displaystyle x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})}$ , тогда ${\displaystyle S}$ называется средней суммой Римана . Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой .

Если Сумма Римана представляется в виде:

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$ ,

где ${\displaystyle v_{i}}$ является точной верхней границей множества ${\displaystyle f}$ на интервале ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ , то ${\displaystyle S}$ называется верхней суммой Римана . Аналогично, если ${\displaystyle v_{i}}$ является точной нижней границей множества ${\displaystyle f}$ интервале ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ , то ${\displaystyle S}$ называется нижней суммой Римана .

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ из интервала ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ) находится между нижней и верхней суммами Римана.

Если для функции ${\displaystyle f}$ и отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ), то этот предел называют интегралом Римана функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ и обозначается ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ .

Литература

• В.А. Ильин , В.А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.