Interested Article - Ограниченные неполные частные

В математике про вещественное число говорят, что оно имеет ограниченные неполные частные если при его разложении в цепную дробь неполные частные не принимают сколь угодно больших значений.

Определение

Цепная дробь

имеет ограниченные неполные частные если существует число такое, что для любого .

Свойства

  • любая имеет ограниченные неполные частные;

Гипотеза Зарембы

Разложение рационального числа в цепную дробь всегда конечно, так что все его неполные частные ограничены максимальным из них. Поэтому особый интерес представляет вопрос, можно ли наложить единые ограничения на неполные частные большинства рациональных чисел. Его поставил Станислав Заремба в 1972 году.

Гипотеза Зарембы

Существует абсолютная константа такая, что для всякого знаменателя существует числитель такой, что и неполные части несократимой дроби

ограничены неравенством

Бургейн и Конторович доказали гипотезу для множества чисел плотности 1. Для малых значений константы и отдельных множеств допустимых значений изучаются менее сильные нижние оценки на распределения таких .

Литература

  • J. Bourgain, A. Kontorovich. (англ.) // Annals of Mathematics. — 2014. — Vol. 180 . — P. 137–196 .
  • И. Д. Кан. // Известия РАН. — 2016. — Т. 80 , вып. 6 . — С. 103–126 .

Примечания

  1. .
  2. См. и другие работы из той же серии.
Источник —

Same as Ограниченные неполные частные