Interested Article - Сопряжённые переменные

Сопряжённые переменные — пары переменных, математически взаимно связанные посредством преобразованием Фурье . или, вообще говоря, посредством двойственности Понтрягина . Отношения двойственности естественным образом приводят к соотношению неопределенности — в физике называемое принципом неопределённости Гейзенберга — между ними. В математических терминах сопряженные переменные являются частью симплектического базиса , а отношение неопределённости соответствует симплектической форме . Кроме того, сопряженные переменные связаны с помощью теоремы Нётер , которая гласит, что если свойства замкнутой физической системы инвариантны относительно изменения одной из сопряженных переменных, то другая сопряженная переменная в этой физической системе сохраняется со временем.

Примеры

Существует много типов канонически сопряженных переменных:

  • Время и частота : чем дольше сохраняется музыкальная нота, тем точнее мы знаем ее частоту, но она длится дольше и, следовательно, является более распределенным событием. И наоборот, очень короткая музыкальная нота более локализована во времени, но нельзя очень точно определить ее частоту (становится просто щелчком).
  • Эффект Доплера : чем точнее мы знаем расстояние до цели, тем менее точно мы знаем скорость её приближения или удаления, и наоборот. В этом случае двумерная функция времени и частоты известна как функция неопределённости радара или "диаграмма неопределённости радара".
  • Поверхностная энергия: γ d A ( γ = Поверхностное натяжение ; A = площадь поверхности).
  • Упругое растяжение: F d L ( F = упругая сила; L длина растяжения).

Производные действия

В классической физике производные действия являются сопряженными переменными с величиной, относительно которой проводится дифференцирование. В квантовой механике эти же пары переменных связаны принципом Гейзенберга принцип неопределённости .

Квантовая механика

В квантовой механике сопряженные переменные реализуются как пары наблюдаемых, операторы которых не коммутируют. В общепринятой терминологии они называются "несовместимыми наблюдаемыми". Рассмотрим в качестве примера измеримые величины, заданные координатой и импульсом . В квантово-механическом формализме две наблюдаемые и соответствуют операторам и , которые обязательно удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению :

Для каждого ненулевого коммутатора двух операторов существует "принцип неопределенности", который в нашем настоящем примере может быть выражен в виде:

В этом нечетко определенном обозначении и обозначим "неопределенность" в одновременной спецификации и . Более точное и статистически полное утверждение, включающее стандартное отклонение , гласит:

В более общем смысле, для любых двух наблюдаемых и , соответствующих операторам и , обобщенный принцип неопределенности задается формулой:

В соответствии с ним можно выбрать два оператора, присвоив каждому математическую форму, такую, чтобы пара удовлетворяла ему. Этот выбор операторов отражает одно из многих эквивалентных (изоморфных) представлений общей фундаментальной алгебраической структуры, которая описывает квантовую механику (алгебра Ли Гейзенберга , соответствующая группа называется группой Гейзенберга ).

Механика жидкости

В гамильтоновой механике жидкости и квантовой гидродинамике само " действие " (или "потенциал скорости") является сопряженной переменной " плотности " (или " плотности вероятности ).

См. также

Примечания

  1. . Дата обращения: 10 мая 2022. 22 декабря 2015 года.
  2. . Дата обращения: 10 мая 2022. 1 апреля 2022 года.
Источник —

Same as Сопряжённые переменные