Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье . То есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования. Следует заметить, что общий вид теоремы Парсеваля часто называют Теоремой Планшереля или . Теорема была доказана для рядов Марком-Антуаном Парсевалем в 1799 году и была позднее применена к рядам Фурье .

Запись теоремы имеет вид

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal {F}}\{x(t)\}|^{2}dw,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\cdot \}}$ обозначает непрерывное преобразование Фурье , которое связывает временной или пространственный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ с его представлением в частотной области ${\displaystyle X(f)}$ .

Более общая и точная формулировка теоремы Парсеваля в теории интеграла Фурье выглядит так. Пусть функции ${\displaystyle f_{1}(x)}$ и ${\displaystyle f_{2}(x)}$ принадлежат пространству ${\displaystyle L^{2}}$ квадратично интегрируемых функций и пусть ${\displaystyle g_{1}(u)}$ и ${\displaystyle g_{2}(u)}$ соответственно являются их преобразованиями Фурье. Тогда:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g_{1}(u)g_{2}(u)du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x)f_{2}(-x)dx}$

В дискретном виде теорему записывают следующим образом:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}|x(i)|^{2}={1 \over N}\sum _{k=0}^{N-1}|X(k)|^{2}}$ ,

где ${\displaystyle X(k)}$ представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала ${\displaystyle x(k)}$ , имеющего ${\displaystyle N}$ отсчетов.

Теорема Парсеваля устанавливает равенство между энергией сигнала и энергией его спектра.

Пример кода на языке MATLAB , демонстрирующий теорему Парсеваля

N = 100; % количество отсчетов
x = randn(1,N); % нормальное распределение
Et = norm(x)^2; % или так: Et = sum(x.^2);
fprintf('Энергия сигнала во временной области:%f \n', Et);

X = fftn(x);
Ew = 1/N * norm(X)^2; % или так: Ew = 1/N * sum(abs(X).^2);
fprintf('Энергия сигнала в частотной области:%f \n', Ew);

xnew = ifftn(X);
Etn = norm(xnew)^2; % или так: Etn = sum(xnew.^2);
fprintf('Энергия сигнала во временной области:%f \n', Etn);

Результат работы программы
-----------------------------
Энергия сигнала во временной области: 94.236108 
Энергия сигнала в частотной области: 94.236108 
Энергия сигнала во временной области: 94.236108

Примечания

Литература

1. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 3-е изд. — М. : «Высшая школа», 2000. — 462 с. — ISBN 5-06-003843-2 .
2. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — 4-е изд. — М. : «Радио и связь», 1986. — 512 с.

См. также

• Преобразование Фурье
• Дискретное преобразование Фурье

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Проставить сноски , внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.