Фо́рмула Торриче́лли связывает скорость истечения идеальной жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием .

Формула Торричелли утверждает, что скорость ${\displaystyle v}$ истечения идеальной жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине ${\displaystyle h}$ от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты ${\displaystyle h}$ , то есть

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}},}$

где ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения .

Если же отверстие затоплено, то ${\displaystyle h}$ равно разности уровней жидкости перед и за отверстием .

Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ и потерянной потенциальной энергии ${\displaystyle mgh}$ .

Для реальных жидкостей скорость истечения будет тем меньше величины ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$ , чем больше вязкость жидкости , а именно ${\displaystyle v=\varphi {\sqrt {2gh}}}$ , где ${\displaystyle \varphi <1}$ - коэффициент скорости ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{1+\xi }}}$ , где ${\displaystyle \xi }$ - коэффициент сопротивления при входе в отверстие .

Для реальной жидкости расход через отверстие ${\displaystyle Q=\mu \omega {\sqrt {2gh}}}$ , где ${\displaystyle \mu =\alpha \varphi }$ , ${\displaystyle \alpha }$ - коэффициент сжатия струи .

Эта формула была получена в словесной форме итальянским учёным Эванджелиста Торричелли , в 1643 году и опубликована в его сочинении Opera geometrica , вышедшем в 1644 году, в разделе De motu aquarum . Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли .

Вывод

Закон Бернулли утверждает, что

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{const}},}$

где v — это скорость жидкости, z — высота жидкости над точкой, для которой записывается уравнение Бернулли, p — давление, ρ — плотность жидкости.

Пусть отверстие находится на высоте z = 0. У поверхности жидкости в резервуаре давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z = 0, и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:

${\displaystyle gz+{\frac {p_{\text{atm}}}{\rho }}={\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p_{\text{atm}}}{\rho }}}$

${\displaystyle \Rightarrow v^{2}=2gz}$

${\displaystyle \Rightarrow v={\sqrt {2gz}}.}$

z равно высоте h , и таким образом

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$

Кроме того, можно прийти к тому же выводу из закона сохранения энергии, так как жидкость идеальная.

Примечания

Литература

• T. E. Faber. (неопр.) . — Cambridge University Press , 1995. — ISBN 0-521-42969-2 .
• Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design ( John Wiley & Sons , 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
• Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)