Interested Article - Метод непосредственного применения правил Кирхгофа

Метод непосредственного применения правил Ки́рхгофа для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B — количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум правилам Кирхгофа и последующем их решении.

Описание метода расчета

Рассмотрим расчёт электрической цепи , не содержащей источников тока . Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить ( У — 1) независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа и К = ( В — У + 1) независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа . Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (то есть содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам/контурам).

Для решения составленной системы линейных алгебраических уравнений можно воспользоваться матричной формой

,

где

и — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B ;
и — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

,

— обратная матрица; определитель матрицы A ; алгебраические дополнения элементов (см. способы нахождения обратной матрицы ).

— матрица собственных и взаимных проводимостей (см. метод наложения ).

— система уравнений, определяющих токи ветвей.

Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта.

Пример использования метода

Эквивалентная схема электрической цепи

В качестве примера рассмотрим расчёт цепи, схема которой показана на рисунке — она содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, то есть К = В − У + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 независимых контура (на рисунке контуры отмечены пунктирной линией — можно выбрать любую пару из них — 1 и 2 , или 2 и 3 , или 1 и 3 ).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей , , (на рисунке направления уже отмечены). По первому закону Кирхгофа можно составить одно ( У − 1 = 2 − 1 = 1 ) независимое уравнение, например для узла a

,

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например, для контуров 1 и 2

;
.

Представим систему из этих трёх уравнений в матричной форме:

или

Теперь составим систему уравнений токов:

где

;
;
;
;
;
;
.

Расчёт цепей с источниками тока

При расчёте схем замещения с источниками тока возможны упрощения, поскольку токи ветвей с источниками тока известны, и рассчитывать их не нужно. Поэтому число независимых контуров (без источников тока), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К = (В — В — У + 1), где В — число ветвей с источниками тока.

Примечания

  1. Статья Ки́рхгофа правила. Большая советская энциклопедия (2-е издание).

Литература

  • Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6
Источник —

Same as Метод непосредственного применения правил Кирхгофа