Interested Article - Классический метод расчёта переходных процессов

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Данный метод обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей (расчет сложных цепей упрощается операторным методом ).

Методика

Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом:

  1. Найти независимые начальные условия , то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.
  2. Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа , Ома , электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения . Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.
  3. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.
  4. Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися .

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом . Токи и напряжения свободного процесса называют свободными , а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Пример расчёта простейшего переходного процесса классическим методом

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка . В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной и приводим уравнение к виду:

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

Разделяем переменные:

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

Интегрируя, получаем

Получаем выражение для тока

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

Окончательно получаем

См. также

Литература

  • Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6

Ссылки

Источник —

Same as Классический метод расчёта переходных процессов