Конти́нуум-гипо́теза ( проблема континуума , первая проблема Гильберта ) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным , либо континуальным . Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел , либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Если принять аксиому выбора , то континуум-гипотеза равносильна тому, что ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ .

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем была показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора , так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD). При этом утверждение ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ в ней неверно; более того, мощность континуума и ${\displaystyle \aleph _{1}}$ в ней .

История

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем , о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году . Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта .

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора , а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC . Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы ${\displaystyle \mathrm {ZFC+\neg CH} }$ имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов ${\displaystyle \alpha }$ может выполняться равенство ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }}$ ? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году .

Эквивалентные формулировки

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

• Прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел ${\displaystyle a,b,c,d}$ не выполняется условие ${\displaystyle a+b=c+d}$ .
• Плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид ${\displaystyle y=f(x)}$ (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или ${\displaystyle x=f(y)}$ (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой) .
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям ${\displaystyle Ox}$ , ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$ , соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось) .
• Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка ${\displaystyle P}$ , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через ${\displaystyle P}$ , лишь в конечном числе точек .

Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала ${\displaystyle \kappa }$ выполняется равенство ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$ ; где ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ обозначает следующий за ${\displaystyle \kappa }$ кардинал. Другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество ${\displaystyle S}$ , найдётся подмножество, равномощное булеану ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ .

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и в 1952 году, из неё следует аксиома выбора .

См. также

• Аксиома Мартина

Примечания

Литература

• Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М. : МГУ, 1970. — Вып. 9 . — С. 248—261 .
• Манин Ю. И. // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
• Фёдор Пахомов. (рус.) (2019). Дата обращения: 11 марта 2023.
• Thomas Jech. The Axiom of Choice (англ.) . — North-Holland Publishing Company, 1973. — 202 p.