Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник , способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд .

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски . Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером .

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n -форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно- , до- , три- , тетра- , пента- , гекса- и т. д.

Правила соединения

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:

• Ячейки полиформы не должны перекрываться.
• Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
  • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой ( англ. pseudopolyform, pseudo-n-form ) .
  • Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой ( англ. quasipolyform, quasi-n-form ) .

Симметрии

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ :

• свободная ( англ. free ) или двусторонняя ( англ. two-sided ) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
• односторонняя ( англ. one-sided ) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
• фиксированная ( англ. fixed ) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.

Виды и применение полиформ

Полиформы могут использоваться в играх , головоломках , моделях . Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино ) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино , кубики сома , тетрис , некоторые варианты судоку .

Форма ячейки (моноформа)		Связность фигуры	Полиформа
	квадрат	сторона	полимино ( англ. polyomino )
		сторона, угол	псевдополимино полиплет ( англ. polyplet )
	правильный треугольник	сторона	полиамонд ( англ. polyiamond, polyamond )
	правильный шестиугольник	сторона	полигекс ( англ. polyhex )
	куб	грань	поликуб ( англ. polycube )
	треугольник 45-45-90	сторона	полиаболо ( англ. polyabolo )
	треугольник 30-60-90	сторона	( англ. polydrafter )
	квадрат (в трёхмерном пространстве)	ребро (90°, 180°)	полиминоид ( англ. polyominoid )
	ромбододекаэдр	грань	полирон ( англ. polyrhon )
	отрезок	конец (90°, 180°)	( англ. polystick )

Полиформы на гиперболических паркетах

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет , треугольный паркет и шестиугольный паркет . На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов , каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны . Так, на квадратном паркете порядка 5 существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино . На правильном семиугольном паркете порядка 3 существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников , причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников .

Примечания

Литература

• Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975. — 207 с.

Ссылки

• Andrew Clarke от 22 февраля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• David Eppstein от 3 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Peter F. Esser от 31 мая 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Jaap Scherphuis от 15 мая 2015 на Wayback Machine (англ.)
• George Sicherman от 14 декабря 2014 на Wayback Machine (англ.)
• Miroslav Vicher от 4 апреля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Aad van de Wetering от 3 февраля 2020 на Wayback Machine (нид.)
• Livio Zucca от 17 августа 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Kadon Enterprises, Inc. от 15 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Alexandre Owen Muñiz от 15 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)