Была опубликована
Ю. В. Сохоцким
в 1868 году в его магистерской диссертации
; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек)
.
Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных»
. Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций»
.
Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций
.
Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим
; в литературе на европейских языках теорема известна как
теорема Казорати — Вейерштрасса
.
Формулировка
Каково бы ни было
, в любой окрестности существенно особой точки
функции
найдётся хотя бы одна точка
, в которой значение функции
отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на
.
Доказательство
Предположим, что теорема неверна, т.е.
Рассмотрим вспомогательную функцию
. В силу нашего предположения функция
определена и ограничена в
-окрестности точки
. Следовательно
- устранимая особая точка
. Это означает, что разложение функции
в окрестности точки
имеет вид:
.
Тогда, в силу определения функции
, в данной окрестности точки
имеет место следующее разложение функции
:
,
где аналитическая функция
ограничена в
-окрестности точки
. Но такое разложение означает, что точка
является полюсом или правильной точкой функции
, и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.
множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в
.
Обобщения
Теорему Сохоцкого обобщает
Большая теорема Пикара
, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.
Комментарии
Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями. —
СПб.
, 1868.
Сasorati F.
Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
Weierstrass K.
Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, В. — P. 77-124.
С. Вriot, I. Bouquet.
Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. — 1859.
Ссылки
↑
// Большая Советская Энциклопедия. —
М.
: Советская энциклопедия, 1969-1978.
↑
Б. В. Шабат.
. —
М.
: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
5 марта 2016 года.
(неопр.)
. Дата обращения: 15 ноября 2011. Архивировано 5 марта 2016 года.
.
И. М. Виноградов.
Сохоцкого теорема // Математическая энциклопедия. —
М.
: Советская энциклопедия, 1977—1985.
.
Этот факт доказывается с помощью мажорантной оценки разложения функции в ряд Лорана.