Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел ${\displaystyle n}$ формулой:

${\displaystyle M(n)=\sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)}$ ,

где ${\displaystyle \mu (k)}$ — функция Мёбиуса . Иными словами, ${\displaystyle M(n)}$ — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих ${\displaystyle n}$ и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей.

Может быть расширена на все положительные действительные числа следующим образом:

${\displaystyle M(x)=\sum \limits _{1\leqslant k\leqslant x}\mu (k)}$ .

Названа в честь , предложившего в 1897 году в связи с этой функцией гипотезу Мертенса (позднее отвергнутую).

Свойства

Модуль функции не превосходит аргумент:

${\displaystyle |M(x)|\leqslant x}$ .

Нетривиальное доказанное свойство — ${\displaystyle M(x)=o(x)}$ . Также установлено, что ${\displaystyle M(x)=M([x])}$ , где ${\displaystyle [x]}$ — целая часть числа ${\displaystyle x}$ .

Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта: если ${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{d|n}\mu (n/d)\,a_{d}}$ , то при ${\displaystyle x\geqslant 1}$ справедливо тождество:

${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)a_{k}=C(x)}$ , где ${\displaystyle C(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}c_{n}}$ — сумматорная функция последовательности ${\displaystyle c_{n}}$ .

В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при ${\displaystyle x\geqslant 1}$ :

${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)=1}$ — характеристическое свойство функции Мертенса;

${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k){\rm {ln}}\,k=\psi (x)}$ , где ${\displaystyle \psi (x)}$ — вторая функция Чебышёва ;

${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)|\mu (k)|=M({\sqrt {x}})}$ ;

${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)\Lambda (k)={\rm {ln}}\,[x]!}$ , где ${\displaystyle \Lambda (k)}$ — функция Мангольдта ;

${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)\tau (k)=[x]}$ , где ${\displaystyle \tau (k)}$ — количество делителей числа ${\displaystyle k}$ .

Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях ${\displaystyle n}$ :

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 …

Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения ${\displaystyle -1,0,1}$ , функция Мертенса изменяется медленно: для всех ${\displaystyle n}$ верно, что ${\displaystyle |M(n)|\leqslant n}$ . Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех ${\displaystyle n}$ абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle |M(n)|\leqslant {\sqrt {n}}}$ . Однако, гипотеза была опровергнута 1985 году и . Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте ${\displaystyle M(n)}$ , а именно ${\displaystyle M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })}$ . Поскольку наибольшие значения ${\displaystyle M(n)}$ растут как минимум так же быстро, как и корень из ${\displaystyle n}$ , это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса ( ${\displaystyle O}$ обозначает O большое ).

Первые 160 значений

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle M(n)}$	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
${\displaystyle n}$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
${\displaystyle M(n)}$	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
${\displaystyle n}$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
${\displaystyle M(n)}$	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
${\displaystyle n}$	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
${\displaystyle M(n)}$	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
${\displaystyle n}$	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
${\displaystyle M(n)}$	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1
${\displaystyle n}$	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
${\displaystyle M(n)}$	0	-1	-2	-2	-3	-2	-3	-3	-4	-5	-4	-4	-5	-6	-5	-5	-5	-4	-3	-3
${\displaystyle n}$	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
${\displaystyle M(n)}$	-3	-2	-1	-1	-1	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4
${\displaystyle n}$	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
${\displaystyle M(n)}$	-3	-2	-1	-1	0	1	1	1	0	0	-1	-1	-1	-2	-1	-1	-2	-1	0	0

Интегральное представление

Используя произведение Эйлера можно получить следующее представление:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod \limits _{p}(1-p^{-s})=\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$ ,

где ${\displaystyle \zeta (s)}$ — это дзета-функция Римана , а произведение берётся по всем простым ${\displaystyle p}$ . Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с , получается:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}ds=M(x),}$

где ${\displaystyle C}$ — замкнутая кривая, окружающая все корни ${\displaystyle \zeta (s)}$ .

Для обращения используется преобразование Меллина :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

которое сохраняется при ${\displaystyle \Re (s)>1}$ .

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни ${\displaystyle \zeta (\rho )}$ , получается «точная формула» по :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}ds=\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению:

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum \limits _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}du=x^{-1}H(\ln x),}$

где ${\displaystyle H(x)}$ — функция Хевисайда , ${\displaystyle B_{2r}}$ — числа Бернулли , и все производные по ${\displaystyle t}$ вычисляются при ${\displaystyle t=0}$ .

Титчмарш ( 1960 ) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\ln n)=\sum \limits _{t}{\frac {h(t)}{\zeta '(1/2+it)}}+2\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}dx,}$

где ${\displaystyle t}$ в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а ${\displaystyle (g,h)}$ связаны преобразованием Фурье, так что:

${\displaystyle \pi g(x)=\int \limits _{0}^{+\infty }h(u)\cos(ux)du}$ .

Представление через последовательность Фарея

Другая формула для функции Мертенса:

${\displaystyle M(n)=\sum \limits _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}$ ,

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ — последовательность Фарея порядка ${\displaystyle n}$ .

Эта формула используется в доказательстве .

Выражение через определитель

${\displaystyle M(n)}$ равна определителю (0,1)- матрицы Редхеффера порядка ${\displaystyle n}$ , в которой ${\displaystyle a_{ij}=1}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle j=1}$ или ${\displaystyle i\mid j}$ .

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=1\\x_{2}+x_{4}+\dots +x_{2[n/2]}=1\\x_{3}+x_{6}+\dots +x_{3[n/3]}=1\\\dots \\\sum \limits _{k\leqslant n,\,d|k}x_{k}=1\\\dots \\\end{cases}}}$

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа ${\displaystyle x_{1}=M(n),\,x_{2}=M(n/2),\,x_{3}=M(n/3),\,\dots ,\,x_{k}=M(n/k),\,\dots ,\,x_{n}=M(n/n)=1,}$ в силу характеристического свойства функции Мертенса: ${\displaystyle \sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)=1}$

При решении системы по правилу Крамера с учётом, что определитель системы равен 1, получается, что ${\displaystyle x_{1}}$ , равный ${\displaystyle M(n)}$ , равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка ${\displaystyle n}$ .

Вычисление

Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов ${\displaystyle n}$ :

• Мертенс (1897) — 10 ⁴ ,
• фон Штернек (1897) — 1,5⋅10 ⁵ ,
• фон Штернек (1901) — 5⋅10 ⁵ ,
• фон Штернек (1912) — 5⋅10 ⁶ ,
• Нойбауэр (1963) — 10 ⁸ ,
• Коэн и Дресс (1979) — 7,8⋅10 ⁹ ,
• Дресс (1993) — 10 ¹² ,
• Лиун и ван де Луне (1994) — 10 ¹³ ,
• Котник и ван де Луне (2003) — 10 ¹⁴

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих ${\displaystyle N}$ , может быть вычислена за время ${\displaystyle O(N^{1+\varepsilon })}$ . Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение ${\displaystyle M(N)}$ за время ${\displaystyle O(N^{2/3+\varepsilon })}$ .

Приложения

В элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказал и использовал тот факт, что из ${\displaystyle M(x)=o(x)}$ следует ${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln {x}}}+o\left({\frac {x}{\ln {x}}}\right)}$ .

Примечания

Литература

• . Теория дзета-функции Римана. — ИЛ, 1953.

Ссылки

• . Riemann's Zeta Function (неопр.) . — Mineola, New York: Dover, 1974. — ISBN 0-486-41740-9 .
• F. Mertens, «Uber eine zahlentheoretische Funktion», Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106 , (1897) 761—830.
• and , « », Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357 , (1985) pp. 138—160.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• последовательность в OEIS
• Deleglise, M. and Rivat, J. «Computing the Summation of the Mobius Function.» Experiment. Math. 5, 291—295, 1996.