Interested Article - Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени $n\geqslant 5$ неразрешимо в радикалах .

Подробности

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов . Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:

При степени $n$ многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена является группа перестановок $S_{n}$ .
При $n\geqslant 5$ группа перестановок $S_{n}$ не является разрешимой .

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение $n$ -й степени при $n\geqslant 5$ не имеет решения. Если допускать комплексные решения , то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью , используя численные методы , например метод Ньютона .

Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение $x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0$ имеет корень $x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}$ .

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций .

Явные формулы для степеней меньше пятой

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой) .

История

Руффини, Паоло , *Teoria generale delle equazioni* , 1799

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини . В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем .

Их доказательства основывались на идеях Лагранжа , связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа , которая позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры .

Разрешимые типы уравнений

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

См. также

Теория Галуа
Корень Бринга
Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
Резольвента алгебраического уравнения
Уравнение шестой степени

Примечания

, с. 112.
, с. 187.
, с. 50.
, с. 9—12.

Литература

Алексеев, В. Б. (рус.) . — М. : МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3 .
Табачников, С. Л. , Фукс, Д. Б. (рус.) . — МЦНМО, 2011. — 512 с. — ISBN 978-5-94057-731-7 .
Bosch, S. Algebra (нем.) . — 6. Auflage. — Springer , 2006. — ISBN 3-540-29880-0 .
Dehn, E. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois (англ.) . — New York: Columbia University Press , 1930.
Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Algebra (англ.) . — Seventh Edition. — Pearson Education Limited, 2014. — ISBN 1-292-02496-8 .
Stewart, I. Galois Theory (англ.) . — Second edition. — Chapman & Hall , 1989. — ISBN 978-94-010-6864-2 .