Interested Article - Критерий Сильвестра
- 2021-07-06
- 1
Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой .
Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу
Тогда эта форма положительно определена тогда и только тогда , когда все её угловые миноры размеров i × i , где i пробегает все целые числа от 1 до n включительно, положительны; а отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки чередуются, причём . Здесь угловыми минорами матрицы называются определители вида
Доказательство
Критерий положительной определённости квадратичной формы
Критерий гласит, что
для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно , чтобы угловые миноры её матрицы были положительны. |
Его доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Доказательство необходимости
Пусть — положительно определённая квадратичная форма. Тогда j -й диагональный элемент положителен, так как , где — вектор со всеми нулевыми координатами, кроме j -й. При приведении матрицы к каноническому виду в силу невырожденности угловых миноров стро́ки не нужно будет переставлять, поэтому в итоге знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, а значит и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях) у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.
Доказательство достаточности
Дана симметричная квадратичная форма, все угловые миноры которой положительны. Рассмотрим сначала первый диагональный элемент в каноническом виде: его знак определяется первым угловым минором. Далее, знак числа определяет знак ( i + 1)-го элемента в диагональном виде. Получается, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.
Критерий отрицательной определённости квадратичной формы
Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны. |
Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица является положительно определённой. При замене матрицы на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же в силу основных свойств определителей.
Критерий полуопределённости квадратичной формы
Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы, симметричной относительно главной диагонали, то есть подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица) .
Неотрицательности только угловых миноров недостаточно, что следует из контрпримера : , но форма не является положительно полуопределённой.
См. также
Примечания
- .
- Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры , Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
- Ким Г.Д., Крицков Л.В. . — Москва: Зерцало, 2003. — С. 155. — 251 с. — ISBN 5-94373-077-X .
- 2021-07-06
- 1