Матрица Сильвестра — матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов . Введена английским математиком Джеймсом Сильвестром .

Определение

Пусть даны многочлены

${\displaystyle A(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$ ,

${\displaystyle B(x)=\sum _{i=0}^{m}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}}$ .

Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная матрица ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$ вида

${\displaystyle S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &\cdots &a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &\cdots &b_{0}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{m}&\cdots &\cdots &b_{1}&b_{0}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&b_{m}&\cdots &b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}}$ .

Количество строк матрицы, содержащих коэффициенты многочлена ${\displaystyle a(x)}$ , равно ${\displaystyle m}$ , а многочлена ${\displaystyle b(x)}$ — ${\displaystyle n}$ . Результант многочленов находится как определитель этой матрицы :

${\displaystyle R(A,B)=\det S_{A,B}}$ .

Пример

Для многочленов

${\displaystyle A(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ ,

${\displaystyle B(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$

матрица Сильвестра будет выглядеть так:

${\displaystyle S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}&0\\0&b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}}$ .

См. также

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .