Формула Лиуви́лля-Острогра́дского
— формула, связывающая
определитель Вронского
(вронскиа́н) для решений
дифференциального уравнения
и коэффициенты в этом уравнении.
Пусть есть дифференциальное уравнение вида
тогда
где
—
определитель Вронского
Для
где
— непрерывная
квадратная матрица
порядка
,
справедлива формула Лиувилля-Остроградского
где
—
след
матрицы
Правило дифференцирования определителя размерности 2
Производная определителя
по переменной х имеет вид
Правило дифференцирования определителя размерности
Пусть
Тогда для производной
верно
(в
-м слагаемом продифференцирована
-я строка)
Доказательство
Воспользуемся формулой полного разложения определителя
Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел
,
— четность
перестановки
.
Дифференцируя это выражение по
, получим
В каждой сумме продифференцированы элементы
-й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим
Доказательство для уравнения второго порядка
Пусть в уравнении
функции
непрерывны на
, а
— решения данного уравнения.
Продифференцировав определитель Вронского, получим
Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив
во второе слагаемое, получим
Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим
решения
линейно независимы
, поэтому
— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя, получим
Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть вектор-функции
— решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу
следующим образом
Тогда
.
Воспользуемся тем, что
— решения системы ОДУ, то есть
.
В матричном виде последнее представимо в виде
или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента
Пусть
—
-я строка матрицы
. Тогда
Последнее означает, что производная от
-й строки матрицы
есть линейная
комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из
-й строки матрицы
.
Рассмотрим определитель матрицы
, в которой
-я строка продифференцирована.
Определитель не изменится, если из
-й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию
всех остальных строк.
Пользуясь формулой дифференцирования
определителя
, получаем
Последнее
обыкновенное дифференциальное уравнение
имеет решение
Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка
Линейное дифференциальное уравнение
-го порядка
эквивалентно следующей системе
с матрицей
следующего вида
Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы
равен
.
Подстановкой в формулу для системы получаем
Применение формулы Лиувилля-Остроградского
Пусть известно решение
линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е.
.
Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение
той же системы.
Распишем вронскиан:
поэтому
Так как для линейной независимости
и
достаточно
,
приняв
, получим
Пример
Пусть в уравнении
известно частное решение
. Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим
Тогда общее решение однородного уравнения
Используемая литература
-
Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В.
Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов. —
М.
: Изд-во
МГТУ им. Баумана
, 1999. — 366 с. — (Математика в техническом университете; Вып. VIII).
-
Романко В. К.
Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. —
М.
: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 344 с.