Теорема Адамара о степенном ряде (также теорема Коши — Адамара ) — утверждение, которое даёт оценку радиуса сходимости степенных рядов для некоторых случаев. Названа в честь французских математиков Коши и Адамара . Теорема была опубликована Коши в 1821 , но оставалась незамеченной пока Адамар не переоткрыл её . Адамар опубликовал результат в 1888 году . Он также включил его в докторскую диссертацию в 1892 году .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}$ — степенной ряд с радиусом сходимости ${\displaystyle R}$ . Тогда:

${\displaystyle (\alpha )}$ если верхний предел ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ существует и положителен, то ${\displaystyle R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}}}$ ;

${\displaystyle (\beta )}$ если ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0}$ , то ${\displaystyle R=+\infty }$ ;

${\displaystyle (\gamma )}$ если верхнего предела ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ не существует, то ${\displaystyle R=0}$ .

Доказательство

${\displaystyle (\alpha )}$ Пусть ${\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )}$ .

Если точка ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ такова, что ${\displaystyle |z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}}$ , то ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<1}$ и можно найти такое число ${\displaystyle q<1}$ , что почти для всех ${\displaystyle \nu }$ будет выполняться ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,}$ . Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu }}$ является сходящейся мажорантой ряда ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}$ , то есть ${\displaystyle R={\frac {1}{\lambda }}}$ .

Если, наоборот, точка ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ удовлетворяет условию ${\displaystyle |z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}}$ , то ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1}$ и для бесконечного множества номеров ${\displaystyle \nu }$ будет выполняться ${\displaystyle |a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1}$ . Следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|}$ в точке ${\displaystyle z}$ расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

${\displaystyle (\beta )}$ Пусть ${\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0}$ . Тогда для каждого ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ последовательность ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}}$ сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число ${\displaystyle q=q(z)\in (0;1)}$ , то для почти всех номеров ${\displaystyle \nu }$ будет выполняться неравенство ${\displaystyle |a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }}$ , откуда, как и в ${\displaystyle (\alpha )}$ , следует сходимость ряда в точке ${\displaystyle z}$ . Формально ${\displaystyle R={\frac {1}{+0}}=+\infty }$ .

${\displaystyle (\gamma )}$ Верхнего предела ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не существует (т.е. формально ${\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}}$ ) в том и только том случае, если последовательность ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ неограничена сверху. Если ${\displaystyle z\neq z_{0}}$ , то неограничена и последовательность ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}}$ . Поэтому ряд ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}$ в точке ${\displaystyle z\neq z_{0}}$ расходится. Следует отметить, что при ${\displaystyle z=z_{0}}$ ряд ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}$ сходится к ${\displaystyle a_{0}}$ . Окончательно ${\displaystyle R=0}$ (т.е. формально ${\displaystyle R={\frac {1}{+\infty }}=+0}$ , фактически ${\displaystyle R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0}$ ).

Примечания

Литература

• Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления, М., Мир, 1971