Гипотеза Даффина — Шаффера — важная гипотеза в теории метрических чисел, предложенная и в 1941 году. Она утверждает, что если ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ — вещественная функция, принимающая положительные значения, то ${\displaystyle \alpha }$ (относительно меры Лебега ) неравенство

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}$

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах ${\displaystyle p,q}$ ( ${\displaystyle q>0}$ ) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty ,}$

где ${\displaystyle \varphi (q)}$ — функция Эйлера .

Многомерный аналог этой гипотезы был доказан Воганом и Поллингтоном в 1990 году.

История

Из леммы Бореля – Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина – Шеффера. В 1970 году Пол Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа ${\displaystyle c>0}$ такая, что для каждого целого числа ${\displaystyle n}$ или ${\displaystyle f(n)=c/n}$ , или ${\displaystyle f(n)=0}$ . В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай ${\displaystyle f(n)=O(n^{-1})}$ . Совсем недавно Хейнс, Поллингтон и Велани еще более усилили результат , гипотеза верна, если существует число ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , такое что ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty }$ .

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в « Annals of Mathematics» .

В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили доказательство этой гипотезы Даффина — Шаффера.

Примечания

Литература

• Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
• Harman, Glyn (2002). "One hundred years of normal numbers". In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.

Ссылки

• от 14 сентября 2019 на Wayback Machine