Interested Article - Гипотеза Даффина — Шаффера
![](/images/007/698/7698089/1.jpg?rand=987261)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/38e18925d2a8e9c1df99bd4d6462af86.jpg)
- 2020-05-20
- 2
Гипотеза Даффина — Шаффера — важная гипотеза в теории метрических чисел, предложенная и в 1941 году. Она утверждает, что если — вещественная функция, принимающая положительные значения, то (относительно меры Лебега ) неравенство
имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах ( ) тогда и только тогда, когда
где — функция Эйлера .
Многомерный аналог этой гипотезы был доказан Воганом и Поллингтоном в 1990 году.
История
Из леммы Бореля – Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.
Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина – Шеффера. В 1970 году Пол Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа такая, что для каждого целого числа или , или . В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай . Совсем недавно Хейнс, Поллингтон и Велани еще более усилили результат , гипотеза верна, если существует число , такое что ряд
- .
В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в « Annals of Mathematics» .
В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили доказательство этой гипотезы Даффина — Шаффера.
Примечания
- R. J.; Duffin. Khintchine's problem in metric diophantine approximation (англ.) // Vol. 8 , no. 2 . — P. 243—255 . — doi : . : journal. — 1941. —
- ↑ Montgomery, Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis (англ.) . — 1994. — Vol. 84.
- A.D.; Pollington. The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture (англ.) // Vol. 37 . — P. 190—200 . — ISSN . — doi : . : journal. — 1990. —
- Harman (2002) p. 69
- Harman (2002) p. 68
- Harman (1998) p. 27
- . (недоступная ссылка)
- Harman (1998) p. 28
- A. Haynes, A. Pollington, and S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence , arXiv, (2009), от 7 мая 2021 на Wayback Machine
- Victor; Beresnevich. (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2006. — Vol. 164 . — P. 971—992 . — ISSN . — doi : . — arXiv : .
- D.; Koukoulopoulos. On the Duffin–Schaeffer conjecture (неопр.) . — 2019. — arXiv : .
Литература
- Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
- Harman, Glyn (2002). "One hundred years of normal numbers". In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
Ссылки
- от 14 сентября 2019 на Wayback Machine
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/38e18925d2a8e9c1df99bd4d6462af86.jpg)
- 2020-05-20
- 2