В математике , в области диофантовых приближений , теорема Давенпорта — Шмидта определяет, насколько хорошо действительные числа специального вида могут быть аппроксимированы другим специальным видом чисел. А именно, она утверждает возможность получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя квадратичные иррациональные числа или просто рациональные числа . Теорема названа в честь Гарольда Дэвенпорта и (англ.) ( .

Теорема

Для рационального или квадратичного иррационального числа ${\displaystyle \alpha }$ существуют уникальные целые числа ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ такие, что хотя бы одно из них не равно нулю, первое ненулевое из них положительно, они взаимно просты , и выполняется

${\displaystyle x\alpha ^{2}+y\alpha +z=0.}$

Если ${\displaystyle \alpha }$ — квадратичное иррациональное число, в качестве ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ можно взять коэффициенты его минимального полинома . Если ${\displaystyle \alpha }$ рационально, примем ${\displaystyle x=0}$ . Используя эти целые числа, однозначно определённые для каждого такого ${\displaystyle \alpha }$ , высоту ${\displaystyle \alpha }$ задаётся по формуле

${\displaystyle H(\alpha )=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}.}$

Теорема утверждает, что для любого действительного числа ${\displaystyle \xi }$ , которое не является ни рациональным, ни квадратичным иррациональным, можно найти бесконечно много действительных чисел ${\displaystyle \alpha }$ , которые являются рациональными или квадратичными иррациональными и которые удовлетворяют неравенству

${\displaystyle |\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\;\xi ^{2}),}$

где ${\displaystyle C}$ — любое действительное число, удовлетворяющее ${\displaystyle C>160/9}$ .

Хотя эта теорема связана с теоремой Рота , её реальное использование заключается в том, что она в том смысле, что постоянная ${\displaystyle C}$ может быть определена для любого заданного ${\displaystyle \xi }$ .

Примечания

Литература

• Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations // Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.

Ссылки

• (англ.) . PlanetMath .