Карл Юхан Мальмстен ( швед. Carl Johan Malmsten ; 9 апреля 1814 года , коммуна Скара , Швеция — 11 февраля 1886 года , Уппсала , Швеция ) — шведский математик и политический деятель. Известен своими ранними работами по комплексному анализу, теории некоторых специальных функций, а также как сооснователь (вместе с Миттаг-Леффлером ) математического журнала Acta Mathematica .

Мальмстен получает степень доцента в 1840 г. и уже через два года становится профессором математики в Университете г. Уппсала . В 1844 его принимают в Шведскую Королевскую Академию Наук . С 1859 по 1866 гг. он также входил в состав правительства коммуны Скара , где занимал пост министра без портфеля , при этом параллельно продолжал заниматься математикой.

Основной вклад

Долгое время имя Карла Мальмстена упоминалось в основном в связи с его ранними работами по теории функций комплексного переменного . Тем не менее, он также внёс большой вклад и в другие области анализа, в частности в теорию спец. функций и дифференциальных уравнений, но, к сожалению, многие его работы были незаслуженно забыты, а результаты приписаны другим. Так, сравнительно недавно, Ярослав Благушин (Iaroslav Blagouchine) показал что именно Мальмстену принадлежит ряд важнейших работ по логарифмическим интегралам и суммам тесно связанным с гамма-функцией , её логарифмической производной , обобщённой дзета функцией , а также L-рядами Дирихле . В частности, в 1842 году, Мальмстен сумел выразить в аналитическом виде следующие логарифмические интегралы

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\{{\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}}{\sqrt {2\pi \,}}\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3}]{2\pi }}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \pi }}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi .}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots }$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}}$

Детали вычислений, а также интересный исторический анализ, приводятся в работах Я. Благушина . Многие из этих интегралов были вновь открыты и заново изучены лишь в 20-м веке. В частности, они, без единого упоминания о Мальмстене, периодически появлялись в работах Илана Варди (Ilan Vardi), Виктора Адамчика (Victor Adamchiк), Виктора Молля (Victor Moll), Эрика Вайсстайна и некоторых других . Более того, заблуждения, касающиеся авторства этих формул, зашли так далеко, что во многих современных источниках первый из этих интегралов называется интегралом Варди ( Vardi’s integral ), хотя он вычислил его на 146 лет позже Мальмстена. Мальмстен получил эти формулы, пользуясь различными достаточно громоздкими разложениями в ряды, почленным интегрированием, а также ловко применяя элементарные преобразования. Методы современного анализа позволяют получить их и менее трудоёмкими способами, такими как методы контурного интегрирования , с помощью дзета-функции Гурвица , через полилогарифмы и с помощью L-рядов Дирихле . Эти же методы позволяют подсчитать и более сложные интегралы Мальмстена , большое количество которых рассматривалось в работах В. Адамчика , и особенно, Я. Благушина (около 80 интегралов). Вот несколько примеров подобных интегралов

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{3}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,\mathrm {G} }{\pi }}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {x}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{l=1}^{n-1}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n}}\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}\mathrm {ctg} {\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2}}\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi }}\sin {\frac {\,m\pi \,}{n}}\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sec {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}}$

где m и n целые положительные числа такие что m < n , G — постоянная Каталана , ζ — дзета-функция Римана , Ψ — дигамма-функция , Ψ ₁ — тригамма-функция; см. соответственно ур. (43), (47) и (48) в для первых трёх интегралов, и упр. 36-a, 36-b, 11-b и 13-b в для последних четырёх (третий интеграл фигурирует в обеих работах). Интересно что некоторые интегралы Мальмстена приводят к гамма- и полигамма-функциям комплексного аргумента, которые не очень часто встречаются в анализе. Так, например,

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi }$

а также,

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\mathrm {ch} {2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\mathrm {ch} {2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,\mathrm {sh} {2}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\right)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,\mathrm {sh} {2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\pi \,}{2\,\mathrm {sh} {2}\,}}}$

см. Ярослав Благушин , упр. 7-а и 37 соответственно. Также установлено что интегралы Мальмстена тесно связаны с обобщёнными постоянными Стилтьеса , которые на данный момент ещё слабо изучены.

В 1842 году, Мальмстену также удалось подсчитать несколько важнейших логарифмических рядов, среди которых наиболее выделяются следующие два:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

и

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .}$

Последний результат особенно важен так как он представляет собой разложение в ряд Фурье логарифма Гамма-функции , результат, который обычно, и как показано в , ошибочно приписывается Ернсту Куммеру , который получил похожую формулу

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}=\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,}$

лишь в 1847 году (строго говоря, результат Куммера получается из результата Мальмстена полагая a=π(2x-1)).

Мальмстен внёс большой вклад и в теорию дзета-функций, а также относящихся к ним интегралов и рядов. В частности, именно он доказал в 1842 что

${\displaystyle L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

и

${\displaystyle M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\sin {\frac {\pi n}{3}}\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

где ряды слева и справа сходятся при 0<s<1. Интересно что первая из этих формул была указана ещё Леонардом Эйлером в 1749 году , однако именно Мальмстен строго доказал её. Довольно забавно что формула для ряда L(s) была дана и Оскаром Шлёмильхом в 1849 году, причём в качестве упражнения для студентов, однако своё доказательство он опубликовал лишь 9-ю годами спустя. Обращает на себя внимание и схожесть формулы для L(s) со знаменитой формулой отражения Римана

${\displaystyle \zeta (1-s)=2\zeta (s)\Gamma (s)(2\pi )^{-s}\cos {\frac {\pi s}{2}}\,,\qquad \qquad \qquad s\neq 0.}$

которую Риман вывел в 1858 году, и которая, кстати говоря, также была впервые дана, хотя и в несколько другом виде, Леонардом Эйлером в 1749 году . В 1846 году Мальмстен также вывел несколько других формул отражения, которые являются частными случаями формулы отражения Гурвица для обобщённой дзета-функции.

Говоря о вкладе Мальмстена в теорию дзета-функций, нельзя не упомянуть и о совсем недавнем открытии его авторства формулы отражения для первой обобщённой постоянной Стилтьеса

${\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\mathrm {ctg} {\frac {m\pi }{n}}}$

где m и n положительные целые числа такие что m < n . Это равенство долгое время ошибочно приписывалось Альмквисту и Меурману (Almkvist and Meurman), которые получили его на полтора века позже Мальмстена .

Примечательно, что работы Мальмстена написаны очень современным языком и легко читаются (несмотря на то что многие написаны по-латыни, по-французски и по-шведски). Кроме того, обозначения, принятые в работах Мальмстена, практически полностью совпадают с современными, что также сильно облегчает их прочтение.

Ссылки