Многочлены Фабера — обобщение многочленов Чебышёва .

Определение

Пусть ${\displaystyle K}$ — — ограниченное непустое связное множество, содержащее более одной точки. И ${\displaystyle g_{\infty }}$ — это та из смежных с ${\displaystyle K}$ областей, к которой принадлежит ${\displaystyle z=\infty }$ . ${\displaystyle g_{\infty }\equiv D}$ — односвязная область расширенной плоскости , граница которой ${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$ является частью континуума ${\displaystyle K}$ .

Область ${\displaystyle g_{\infty }}$ конформно отображается на внешность круга с центром в точке ${\displaystyle w=0}$ посредством функции ${\displaystyle w=\Phi (z)}$ так, что выполняются два условия:

${\displaystyle \Phi (\infty )=\infty }$

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }\Phi (z)/z=\gamma >0}$

которыми функция ${\displaystyle \Phi (z)}$ определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция ${\displaystyle w=\Phi (z)}$ , являясь аналитической в области ${\displaystyle D}$ , кроме точки ${\displaystyle z=\infty }$ , имеет в точке ${\displaystyle z=\infty }$ простой полюс , и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки ${\displaystyle z=\infty }$ имеет вид

${\displaystyle \Phi (z)=\gamma z+\gamma _{0}+\gamma _{1}/z+\gamma _{2}/z^{2}+\ldots .}$

Многочленом Фабера n -го порядка, порождённым континуумом ${\displaystyle K}$ , называется многочлен

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\gamma ^{n}z^{n}+a_{n-1}^{(n)}z^{n-1}+a_{n-2}^{(n)}z^{n-2}+\ldots +a_{1}^{(n)}z+a_{0}^{(n)}}$

представляющий собой члены с неотрицательными степенями ${\displaystyle z}$ в лорановском разложении функции ${\displaystyle \Phi (z)^{n}}$ в окрестности бесконечно удаленной точки.

Свойства

• Многочлены Чебышёва являются частным случаем многочленов Фабера при ${\displaystyle K=[-1;1]}$ .

Ссылки

• Суетин П. К. Многочлены Фабера.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .