Interested Article - Транспозиционная матрица

Транспозиционная матрица ( -матрица) — квадратная матрица размера ( , ), элементы которой получаются из элементов заданного -мерного вектора по формуле:

,

где символом обозначена битовая операция « сложение по модулю 2 ». Строки и столбцы транспозиционной матрицей являются перестановками вектора ; каждая строка и столбец содержит все элементы вектора без повторений. -матрица бисимметрична : и для любых и .

Например, транспозиционная матрица , полученная из вектора:

имеет вид:

.

Свойство четвёрок

Четвёрки из элементов в -матрице — диагональные элементы в них равны

Произвольная пара строк строки (или пара столбцов) транспозиционной матрицы содержит четвёрок из элементов с равными значениями диагональных элементов. Например, если и — два случайно выбранных элемента из одного столбца матрицы , то из этого свойства следует, что -матрица содержит четвёрку из элементов , для которой выполняются уравнения и . Это свойство «свойство четвёрок» является специфическим для -матриц.

Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строками

Свойство четвёрок позволяет получить из транспозиционной матрицы матрицу со взаимно ортогональными строками путём изменения знака нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок , . Существует алгоритм построения -матрицы с использованием покомпонентного произведения матрицы и -мерной матрицы Адамара , строки которой (кроме первой) переставлены таким образом, что строки результирующей матрицы взаимно ортогональны:

где:

« » — произведение Адамара,
— единичная матрица,
-мерная матрица Адамара с перестановкой строк , которая меняет знак нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок;
— вектор, из которого выводятся элементы -матрицы.

Порядок строк матрицы Адамара был получен экспериментально для матриц размеров 2, 4 и 8. Порядок строк матрицы Адамара (относительно матрицы Сильвестра — Адамара) не зависит от вектора . Было доказано , что если — единичный вектор ( ), то .

Пример получения матрицы Trs

Транспозиционная матрица с взаимно ортогональными строками при , получается из вектора по формуле:

,

где матрица, полученная из вектора , H(R) — матрица Адамара со сдвигом строк в заданном порядке R, для которого строки результирующей Матрицы Trs взаимно ортогональны. Первая строка результирующей матрицы содержит элементы вектора без перестановок и перемен знака. Учитывая, что строки матрицы взаимно ортогональны:

,

следовательно, матрица вращает вектор , из которого она получена, в направлении оси . Порядок строк матрицы Адамара не зависит от вектора . Опубликованы примеры генерации матриц и для . Остаётся открытым вопрос, можно ли создать матрицы Trs размера больше 8.

Примечания

  1. Zhelezov O. I. Determination of a Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications. Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29-45 ISBN= 978-93-91473-89-1

Литература

  • Беллман Р. . — М. : Мир, 1969 (djvu).
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М. : Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8 .; .
  • Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М. : Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М. : Наука, 1968. — 432 с.

Ссылки

Источник —

Same as Транспозиционная матрица