Транспозиционная матрица
(
-матрица) —
квадратная матрица
размера
(
,
), элементы которой получаются из элементов заданного
-мерного вектора
по формуле:
Например, транспозиционная матрица
, полученная из вектора:
имеет вид:
.
Содержание
Свойство четвёрок
Произвольная пара строк строки (или пара столбцов) транспозиционной матрицы содержит
четвёрок из элементов с равными значениями диагональных элементов. Например, если
и
— два случайно выбранных элемента из одного столбца
матрицы
, то из этого свойства следует, что
-матрица содержит четвёрку из элементов
, для которой выполняются уравнения
и
. Это свойство «свойство четвёрок» является специфическим для
-матриц.
Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строками
Свойство четвёрок позволяет получить из транспозиционной матрицы
матрицу со взаимно ортогональными строками
путём изменения знака нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок
,
. Существует алгоритм построения
-матрицы с использованием
покомпонентного произведения
матрицы
и
-мерной
матрицы Адамара
, строки которой (кроме первой) переставлены таким образом, что строки результирующей матрицы
взаимно ортогональны:
где:
«
» — произведение Адамара,
— единичная матрица,
—
-мерная матрица Адамара с перестановкой строк
, которая меняет знак нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок;
— вектор, из которого выводятся элементы
-матрицы.
Порядок
строк матрицы Адамара был получен экспериментально для матриц
размеров 2, 4 и 8. Порядок
строк матрицы Адамара (относительно матрицы Сильвестра — Адамара) не зависит от вектора
. Было доказано
, что если
— единичный вектор (
), то
.
Пример получения матрицы Trs
Транспозиционная матрица с взаимно ортогональными строками
при
, получается из вектора
по формуле:
,
где
—
матрица, полученная из вектора
, H(R) — матрица Адамара со сдвигом строк в заданном порядке R, для которого строки результирующей
Матрицы Trs взаимно ортогональны.
Первая строка результирующей матрицы
содержит элементы вектора
без перестановок и перемен знака. Учитывая, что строки матрицы
взаимно ортогональны:
,
следовательно, матрица
вращает вектор
, из которого она получена, в направлении оси
.
Порядок
строк матрицы Адамара не зависит от вектора
. Опубликованы примеры генерации матриц
и
для
. Остаётся открытым вопрос, можно ли создать матрицы Trs размера больше 8.
Примечания
Zhelezov O. I.
Determination of a Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications. Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29-45 ISBN= 978-93-91473-89-1
Литература
Беллман Р.
. —
М.
: Мир, 1969 (djvu).
Гантмахер Ф. Р.
Теория матриц. — 5-е изд. —
М.
: Физматлит, 2004. — 560 с. —
ISBN 5-9221-0524-8
.;
.
Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan)
Матричные вычисления. —
М.
: Мир, 1999. — 548 с. —
ISBN 5-03-002406-9
Курош А. Г.
Курс высшей алгебры. — 9-е изд. —
М.
: Наука, 1968. — 432 с.