Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе .

Формулировка

${\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}$

${\displaystyle A}$ — линейный самосопряжённый оператор , действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,

${\displaystyle S}$ — единичная сфера,

${\displaystyle e=e_{1}\dots e_{n}}$ — ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V}$ , состоящий из собственных векторов оператора ${\displaystyle A}$ ,

${\displaystyle \lambda _{k}}$ — ${\displaystyle k}$ -ое собственное значение оператора ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}}$

${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$ -мерное подпространство ${\displaystyle V}$ .

Доказательство

${\displaystyle p=n-k+1}$ ,
${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$ -мерное подпространство ${\displaystyle V}$ ,
${\displaystyle W_{n-k+1}}$ — линейная оболочка векторов ${\displaystyle e_{k}\dots e_{n}}$ .
${\displaystyle \dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1}$ .
Откуда следует, что ${\displaystyle L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }}$ . Пусть ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}}$ и ${\displaystyle \ \|x_{0}\|=1}$ .
Так как ${\displaystyle \lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),}$ то ${\displaystyle {\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}}$ .
С другой стороны: так как ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}}$ то

${\displaystyle \inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}$

${\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}$

Равенство достигается при ${\displaystyle L_{k}=L({e_{1}\dots e_{k}})}$ .

Дополнительно

Очевидно, что ${\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)=\inf \limits _{L_{n-k+1}}\sup \limits _{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)}$ .

Примечания

Литература

1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
2. Ланкстер. Теория Матриц
3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия