Теорема Фробениуса — Суходолова — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами. Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем; в экономике; в демографии; в социальных сетях; в поисковых системах.

Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо (1912). Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle A}$ — квадратная матрица , со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:

• наибольшее по модулю собственное значение ${\displaystyle r}$ является вещественным и строго положительным;
• это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена ;
• соответствующий ${\displaystyle r}$ собственной вектор имеет (точнее говоря, может быть выбран таким образом, чтобы иметь) строго положительные координаты, все остальные собственные векторы таким свойством не обладают;
• собственное значение ${\displaystyle r}$ удовлетворяет неравенствам

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

См. также

• Оператор Перрона — Фробениуса

Литература

• Perron, Oskar (1907), "Zur Theorie der Matrices", Mathematische Annalen , 64 (2): 248—263, doi :
• Frobenius, Georg (1912), "Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. : 456—477
• Frobenius, Georg (1908), "Über Matrizen aus positiven Elementen, 1", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. : 471—476
• Frobenius, Georg (1909), "Über Matrizen aus positiven Elementen, 2", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. : 514—518
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.

В другом языковом разделе есть более полная статья (англ.) . Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода