Interested Article - Неравенство Шура

В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура , утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел и выполняется неравенство:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если будет натуральным и чётным , то неравенство будет выполняться для всех действительных .

Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда :

Доказательство

Поскольку неравенство симметрично относительно переменных , то без ограничения общности можно считать, что . Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:

которое выполняется потому, что . Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при или и . Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда или двое из чисел равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.

Обобщения

Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных и неотрицательных действительных :

если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

  • и
  • и
  • и
  • и
  • и
  • и
  • - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  • - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  • - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  • - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  • Существует выпуклая или монотонная функция , где - это интервал , который содержит числа , , , причём , ,

Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа и положительное действительное число таковы, что , то :

Примечания

  1. Finta, Béla (2015). . Procedia Technology . 19 : 799—801. doi : .
Источник —

Same as Неравенство Шура