В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные , то есть простейшие объекты . Как множества, они состоят из одного элемента , обозначаемого символом « 0 », а сам объект — как « {0} », или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях ). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество { 0 }».

Важнейшими из таких объектов являются:

• Тривиальная группа , простейшая из групп .

  Является также простейшей из абелевых групп , и все нижеперечисленные объекты наследуют её структуру, понимаемую как сложение .

• Тривиальное кольцо , простейшее из колец .
• Нулевой (тривиальный, или пустопорождённый ) модуль , простейший из модулей над заданным кольцом R ).
• Нулевое (или нульмерное ) линейное пространство над полем R , простейшее из линейных пространств.
• Нулевая алгебра , простейшая из алгебр над кольцом или над полем R .

В трёх последних случаях умножение на скаляр определяется как κ0 = 0 , где κ ∈ R .

Всякая нулевая алгебра также тривиальна как кольцо. Нулевая алгебра над полем является нулевым линейным пространством, а над кольцом — нулевым модулем.

Трактовка при помощи теории категорий

С точки зрения теории категорий , тривиальный объект является терминальным , а иногда (в зависимости от определения морфизма ) нулевым (то есть одновременно терминальным и начальным ) объектом.

Тривиальный объект единственнен .

Терминальность тривиального объекта означает, что морфизм A → {0} существует и единственнен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает всякий элемент объекта A в 0 .

2 ↕	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$	=	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix}}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (справа), умножен на 2×0 для получения 2-мерного нулевого вектора (слева). Правила умножения матриц соблюдены.

В категориях Rng (колец без обязательной единицы), R - Mod и Vect _R , тривиальное кольцо, нулевые модуль и пространство соответственно являются нулевыми объектами. Нулевой объект по определению начален, то есть морфизм {0} → A существует и единственнен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает 0 , единственный элемент объекта {0} , в нуль 0 ∈ A . Это мономорфизм , и его образ (подмодуль/подпространство в A , порождённый нулём элементов ) изоморфен {0}.

Структуры с единицей

В структурах с единицей ( нейтральным элементом умножения) дело не так просто. Когда определение морфизма в категории требует их сохранения, тривиальный объект либо является только терминальным (но не начальным), либо не существует вовсе (например, когда определение структуры требует неравенство 1 ≠ 0 ).

В категории Ring колец с единицами, кольцо целых чисел Z является начальным объектом, а не {0}.

См. также

Ссылки

• David Sharpe. Rings and factorization (неопр.) . — Cambridge University Press , 1987. — С. : trivial ring . — ISBN 0-521-33718-6 .
• Barile, Margherita. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Barile, Margherita. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .