Interested Article - Теорема Лиувилля о конформных отображениях

Теорема Лиувилля утверждает, что конформные преобразования пространства являются мёбиусовыми — то есть переводят сферы и плоскости в сферы и плоскости

Теорема Лиувилля о конформных отображениях утверждает, что

всякое конформное отображение области евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ при $n\geqslant 3$ можно представить в виде конечного числа суперпозиций изометрий и инверсий .

Эта теорема выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитических функций многих комплексных переменных и в теории . Для сравнения, любые две связные односвязные области в $\mathbb {R} ^{2}$ с более чем одной точкой границы конформно эквивалентны (это теорема Римана об отображении ).

Теорема была доказана Лиувиллем в 1850 году . В 1967 году Решетняк обобщил теорему на случай, когда отображение предполагается имеющим лишь обобщённые производные (лежащее в соболевском пространстве $W_{n}^{1}$ ).

Набросок доказательства

В случае бесконечно дифференцируемых отображений доказательство следует из более общего утверждения дифференциальной геометрии.

Пусть $(X,g)$ — риманово многообразие, и $S\subset X$ — гладкая гиперповерхность в нём, $A\colon TS\to TS$ — её оператор внешней кривизны (то есть оператор такой, что $g(Au,v)=\mathrm {I\!I} (u,v)$ есть вторая фундаментальная форма), и $f$ — положительная функция на $X$ . Тогда оператор внешней кривизны метрики $g'=fg$ выражается как $A'(u)={\frac {\sqrt {f}}{2}}A(u)-\left(L_{\mathbf {n} _{S}}{\sqrt {f}}\right)u$ , где $\mathbf {n} _{S}$ — поле внешних нормалей к $S$ , a $L$ — производная Ли .

Отсюда следует, что хотя сам оператор внешней кривизны не является конформным инвариантом (что очевидно для мёбиусовых преобразований $\mathbb {R} ^{3}$ , переводящий вполне геодезичные — то есть обладающие тождественно нулевой внешней кривизной — плоскости в круглые сферы), множество точек, в которых совпадают его собственные числа ( главные кривизны ), конформно инвариантно. Эти точки называются точками округления . В частности, вполне умбиличные поверхности — то есть такие, все точки которых являются точками округления — переводятся конформными преобразованиями во вполне умбиличные. В $\mathbb {R} ^{n}$ таковые исчерпываются областями сфер и плоскостей, что завершает доказательство теоремы.

Кроме того, из этой формулы вытекает, что конформно инвариантными являются также и собственные вектора оператора внешней кривизны, а следовательно локальные интегральные линии соответствующих собственных векторных полей — так называемые линии кривизны . Это утверждение замечено Схоутеном и Стрёйком .

Заметим, что в этой теореме нет ограничения на размерность объемлющего многообразия. Однако следствие в данном случае является тавтологией, поскольку на кривой в плоскости у оператора внешней кривизны имеется лишь одно собственное значение, и потому всякая кривая вполне умбилична (что хорошо согласуется с тем, что все гладкие жордановы кривые переводятся друг в друга конформными отображениями ограничиваемых ими областей).

Иные конформные инварианты

Геометрия конформных отображений особенно богата для поверхностей в $S^{3}$ . В данном случае инвариантом конформного преобразования являются не просто точки округления поверхности, но так называемoe подынтегральное выражение Вильмора, $(H^{2}-K)\omega _{g}$ , где $H$ есть её средняя кривизна , $K$ — гауссова кривизна , а $\omega _{g}$ — форма площади. Эта форма обнуляется в точности в точках округления поверхности. Интеграл $\int _{S}(H^{2}-K)\omega _{g}$ называется функционалом Вильмора.

По аналогии с оператором внешней кривизны, собственные направления которого конформно инвариантны, хотя сам он при конформных преобразованиях меняется, ввёл конформное гауссово отображение . Именно, хотя понятие касательной плоскости не конформно инвариантно, понятие касательной сферы, имеющей в точке касания ту же среднюю кривизну, что и поверхность, уже конформно инвариантно. Сферы в $S^{3}$ , если реализовать $S^{3}$ как множество изотропных лучей в пространстве Минковского $\mathbb {R} ^{4,1}$ , высекаются гиперплоскостями сигнатуры $\mathbb {R} ^{3,1}$ — а таковые определяются своей единичной нормалью, то есть точкой гиперболоида $Q=\{(v,v)=1\}\subset \mathbb {R} ^{4,1}$ . Сопоставление точке поверхности в мёбиусовой $S^{3}$ точки гиперболоида, соответствующей её касательной сфере, является эквивариантным под действием мёбиусовой группы $\mathrm {SO} (4,1)$ ; это и есть конформное гауссово отображение.

Связь с комплексной геометрией

Было бы ошибкой заключать по контрасту между теоремой Лиувилля для $n>2$ и теоремой Римана для $n=2$ , будто конформные отображения пространств высшей размерности не имеют отношения к комплексному анализу и геометрии. Ровно наоборот, богатство структур многомерной комплексной геометрии препятствует существованию конформных преобразований евклидовых областей, отличных от мёбиусовых. Так, для трёхмерных многообразий их конформное отображение индуцирует КР-голоморфное отображение их твисторов Лебрюна ; в случае евклидова пространства подъёмы круглых сфер в твисторы Лебрюна задают на них сетку голоморфных кривых, которые должны переводиться друг в друга под этими отображениями, что и определяет на них жёсткие условия, сводящиеся в конечном счёте к мёбиусовости.

Примечания

Ю. Г. Решетняк. “Теорема Лиувилля о конформных отображениях при минимальных предположениях регулярности”, Сиб. матем. журн. , 8:4 (1967), 835–840
И. А. Схоутен и Д. Дж. Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Пер. с немецкого Б. А. Розенфельда и И. М. Яглома , 1948, М., Государственное издательство иностранной литературы. С. 228.
Bryant, Robert L. A duality theorem for Willmore surfaces. J. Differential Geom. 20 (1984), no. 1, 23—53.