Теорема Лиувилля о конформных отображениях утверждает, что

всякое конформное отображение области евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ можно представить в виде конечного числа суперпозиций изометрий и инверсий .

Эта теорема выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитических функций многих комплексных переменных и в теории . Для сравнения, любые две связные односвязные области в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с более чем одной точкой границы конформно эквивалентны (это теорема Римана об отображении ).

Теорема была доказана Лиувиллем в 1850 году . В 1967 году Решетняк обобщил теорему на случай, когда отображение предполагается имеющим лишь обобщённые производные (лежащее в соболевском пространстве ${\displaystyle W_{n}^{1}}$ ).

Набросок доказательства

В случае бесконечно дифференцируемых отображений доказательство следует из более общего утверждения дифференциальной геометрии.

Пусть ${\displaystyle (X,g)}$ — риманово многообразие, и ${\displaystyle S\subset X}$ — гладкая гиперповерхность в нём, ${\displaystyle A\colon TS\to TS}$ — её оператор внешней кривизны (то есть оператор такой, что ${\displaystyle g(Au,v)=\mathrm {I\!I} (u,v)}$ есть вторая фундаментальная форма), и ${\displaystyle f}$ — положительная функция на ${\displaystyle X}$ . Тогда оператор внешней кривизны метрики ${\displaystyle g'=fg}$ выражается как ${\displaystyle A'(u)={\frac {\sqrt {f}}{2}}A(u)-\left(L_{\mathbf {n} _{S}}{\sqrt {f}}\right)u}$ , где ${\displaystyle \mathbf {n} _{S}}$ — поле внешних нормалей к ${\displaystyle S}$ , a ${\displaystyle L}$ — производная Ли .

Отсюда следует, что хотя сам оператор внешней кривизны не является конформным инвариантом (что очевидно для мёбиусовых преобразований ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , переводящий вполне геодезичные — то есть обладающие тождественно нулевой внешней кривизной — плоскости в круглые сферы), множество точек, в которых совпадают его собственные числа ( главные кривизны ), конформно инвариантно. Эти точки называются точками округления . В частности, вполне умбиличные поверхности — то есть такие, все точки которых являются точками округления — переводятся конформными преобразованиями во вполне умбиличные. В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ таковые исчерпываются областями сфер и плоскостей, что завершает доказательство теоремы.

Кроме того, из этой формулы вытекает, что конформно инвариантными являются также и собственные вектора оператора внешней кривизны, а следовательно локальные интегральные линии соответствующих собственных векторных полей — так называемые линии кривизны . Это утверждение замечено Схоутеном и Стрёйком .

Заметим, что в этой теореме нет ограничения на размерность объемлющего многообразия. Однако следствие в данном случае является тавтологией, поскольку на кривой в плоскости у оператора внешней кривизны имеется лишь одно собственное значение, и потому всякая кривая вполне умбилична (что хорошо согласуется с тем, что все гладкие жордановы кривые переводятся друг в друга конформными отображениями ограничиваемых ими областей).

Иные конформные инварианты

Геометрия конформных отображений особенно богата для поверхностей в ${\displaystyle S^{3}}$ . В данном случае инвариантом конформного преобразования являются не просто точки округления поверхности, но так называемoe подынтегральное выражение Вильмора, ${\displaystyle (H^{2}-K)\omega _{g}}$ , где ${\displaystyle H}$ есть её средняя кривизна , ${\displaystyle K}$ — гауссова кривизна , а ${\displaystyle \omega _{g}}$ — форма площади. Эта форма обнуляется в точности в точках округления поверхности. Интеграл ${\displaystyle \int _{S}(H^{2}-K)\omega _{g}}$ называется функционалом Вильмора.

По аналогии с оператором внешней кривизны, собственные направления которого конформно инвариантны, хотя сам он при конформных преобразованиях меняется, ввёл конформное гауссово отображение . Именно, хотя понятие касательной плоскости не конформно инвариантно, понятие касательной сферы, имеющей в точке касания ту же среднюю кривизну, что и поверхность, уже конформно инвариантно. Сферы в ${\displaystyle S^{3}}$ , если реализовать ${\displaystyle S^{3}}$ как множество изотропных лучей в пространстве Минковского ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4,1}}$ , высекаются гиперплоскостями сигнатуры ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$ — а таковые определяются своей единичной нормалью, то есть точкой гиперболоида ${\displaystyle Q=\{(v,v)=1\}\subset \mathbb {R} ^{4,1}}$ . Сопоставление точке поверхности в мёбиусовой ${\displaystyle S^{3}}$ точки гиперболоида, соответствующей её касательной сфере, является эквивариантным под действием мёбиусовой группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (4,1)}$ ; это и есть конформное гауссово отображение.

Связь с комплексной геометрией

Было бы ошибкой заключать по контрасту между теоремой Лиувилля для ${\displaystyle n>2}$ и теоремой Римана для ${\displaystyle n=2}$ , будто конформные отображения пространств высшей размерности не имеют отношения к комплексному анализу и геометрии. Ровно наоборот, богатство структур многомерной комплексной геометрии препятствует существованию конформных преобразований евклидовых областей, отличных от мёбиусовых. Так, для трёхмерных многообразий их конформное отображение индуцирует КР-голоморфное отображение их твисторов Лебрюна ; в случае евклидова пространства подъёмы круглых сфер в твисторы Лебрюна задают на них сетку голоморфных кривых, которые должны переводиться друг в друга под этими отображениями, что и определяет на них жёсткие условия, сводящиеся в конечном счёте к мёбиусовости.

Примечания