Interested Article - Теорема Бернштейна о седловом графике

Теорема Бернштейна о седловом графике — классическая теорема о седловых поверхностях . Доказана Сергеем Натановичем Бернштейном .

Формулировка

Предположим график гладкой функции $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ является строго седловой поверхностью. Тогда функция $f$ неограничена; то есть не существует константы $C$ такой, что $f(x,y)\leq C$ для любой $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ .

Замечания

Утверждение теоремы неверно без предположения что поверхность является графиком. Пример полной седловой поверхности лежащей между двумя праллельными плоскостями можно найти среди поверхностей вращения.

Существуют также седловые графики лежащие в верхнем полупространстве $z>0$ ; таков например график $z=\exp(x-y^{2})$ .

Вариации и обобщения

Если график гладкой ограниченной функции является нестрого седловым, то график является линейчатой поверхностью с параллельными образующими.

Примечания

Bernstein, S.N. (1915–1917), "Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Math. Kharkov , 15 : 38—45 German translation in Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", (нем.) , Springer Berlin / Heidelberg, 26 : 551—558, doi : , ISSN Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258.