Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Названа в честь Леонарда Эйлера , который доказал её в 1760 году.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \Phi }$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве . Пусть ${\displaystyle p}$ — точка ${\displaystyle \Phi ,}$ ${\displaystyle T_{p}}$ — касательная плоскость к ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle n}$ — единичная нормаль к ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p,}$ а ${\displaystyle \pi _{e}}$ — плоскость, проходящая через ${\displaystyle n}$ и некоторый единичный вектор ${\displaystyle e}$ в ${\displaystyle T_{p}}$ . Кривая ${\displaystyle \gamma _{e},}$ получающаяся как пересечение плоскости ${\displaystyle \pi _{e}}$ с поверхностью ${\displaystyle \Phi ,}$ называется нормальным сечением поверхности ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p}$ в направлении ${\displaystyle e.}$ Величина

${\displaystyle \kappa _{e}=k\cdot n}$

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение , а ${\displaystyle k}$ — вектор кривизны ${\displaystyle \gamma _{e}}$ в точке ${\displaystyle p}$ , называется нормальной кривизной поверхности ${\displaystyle \Phi }$ в направлении ${\displaystyle e}$ . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой ${\displaystyle \gamma _{e}}$ .

В касательной плоскости ${\displaystyle T_{p}}$ существуют два перпендикулярных направления ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера :

${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha }$

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между этим направлением и ${\displaystyle e_{1}}$ , a величины ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ нормальные кривизны в направлениях ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ , они называются главными кривизнами , а направления ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ — главными направлениями поверхности в точке ${\displaystyle p}$ . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена .

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Индикатриса Дюпена
• Кривизна

Ссылки

• Euler, Leonhard (1760), , Memoires de l'academie des sciences de Berlin (published 1767), 16 : 119—143 .