Interested Article - Гипотеза Каратеодори

brigid
  • 2021-07-20
  • 1

Гипотеза Каратеодори — гипотеза , приписываемая Константину Каратеодори , которую Ганс Людвиг Гамбургер высказал на сессии Берлинского Математического Общества 1924 . Каратеодори публиковал статьи на это тему , но никогда не приводил гипотезу в своих сочинениях. Джон Идензор Литлвуд в своей книге упоминает гипотезу и вклад Гамбургера как пример математического утверждения, которое легко сформулировать, но трудно доказать. Дирк Ян Стройк описывает в своей статье формальную аналогию гипотезы с теоремой о четырёх вершинах для плоских кривых . Современные ссылки на гипотезу — список проблем Яу Шинтуна , книги Марселя Берже , а также книги Николаева , Стройка , Топоногова и Алексеевского, Виноградова, Лычагина .

Формулировка

Любая выпуклая замкнутая и достаточно гладкая поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве содержит по меньшей мере две точки округления .

Замечания

Например эллипсоид вращения имеет ровно две точки округления. При этом все точки сферы являются точками округления.

Частные результаты

Была заявка Стефана Кон-Фоссена на Международный конгресс математиков 1928 в Болонье и в издании 1929 года третьего тома книги «Дифференциальная геометрия» Вильгельм Бляшке писал:

Пока книга готовилась к печати Кон-Фоссен смог доказать, что замкнутые вещественно-аналитические поверхности не имеют омбилических точек с индексом > 2 (приглашённый доклад на ICM в Болонье 1928). Это доказывает гипотезу Каратеодори для таких поверхностей, а именно, что поверхности дожны иметь по меньшей мере две омбилики.

Здесь индекс Бляшке равен удвоенному обычному индексу омбилической точкой и глобальная гипотеза следует из теоремы Пуанкаре о векторном поле . Никаких статей не было издано Кон-Фоссеном до Международного Конгресса, а в дальнейших переизданиях книги Бляшке вышеупомянутые комментарии были удалены. Отсюда логично сделать вывод, что работа была неубедительной.

Для аналитических поверхностей утвердительный ответ для гипотезы дал в 1940 Ганс Людвиг Гамбургер в длинной статье, опубликованной в трёх частях . Подход Гамбургера основывался также на оценке индексов изолированных омбилических точек, из которой, как он показал в более ранних работах , вытекает гипотеза Каратедори. В 1943 Джеррит Бол предложил более короткое доказательство (см. также Бляшке ), но в 1959 Тилла Клотц нашла и исправила пробел в доказательстве Бола . Её доказательство, в свою очередь, было объявлено неполным в диссертации Ганспетера Шербела (никаких результатов, связанных с гипотезой Каратеодори, Шербел не опубликовал, по меньшей мере до июня 2009). Среди других публикаций следует упомянуть работы Титуса , Сотомайора и Мелло , Гутьереса .

Все упомянутые выше доказательства основываются на сведении Гамбургера гипотезы Каратеодори к следующей гипотезе: индекс любой изолированной омбилической точки не превосходит единицы . Грубо говоря, основная трудность заключается в разрешении сингулярности, генерируемой точками округления. Все упомянутые выше авторы разрешают сингулярность индукцией по «степени вырождения» точки округления, но ни один из авторов не описал процесс индукции ясно.

В 2002 Владимир В. Иванов просмотрел работу Гамбургера по аналитическим поверхностям и написал следующее :

Во-первых, имея в виду аналитические поверхности, мы со всей ответственностью заявляем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это может быть строго доказано. В-третьих, мы намерены изложить здесь доказательство, которое, на наш взгляд, убедит любого читателя, если только он действительно готов преодолеть вместе с нами долгий и совсем не легкий путь.

Сначала он проследовал по пути, предложенному Герритом Болом и Тиллой Клотц, но позднее он предложил свой собственный путь разрешения сингулярности, в котором критическое значение принадлежит комплексному анализу (более точно, технике, использующей аналитические неявные функции , , ряд Пюизё и циркулярные системы корней ).

В 2008 Гилфойл и Клингенберг объявили о доказательстве глобальной гипотезы для поверхностей гладкости C 3,\alpha . Их метод использует нейтральную кэлерову геометрию , поток средней кривизны , теорему Римана — Роха об индексе и теорему Сарда — Смейла на регулярных значениях операторов Фредхольма . Однако их статья так и не была опубликована .

В 2012 Гоми и Ховард показали, используя преобразование Мёбиуса , что глобальная гипотеза для поверхностей с гладкостью C 2 может быть переформулирована в терминах числа омбилических точек графиков некоторых асимптотик градиентов .

См. также

Примечания

  1. .
  2. .
  3. .
  4. ↑ , с. 63—86.
  5. ↑ , с. 175—228.
  6. ↑ , с. 229—332.
  7. , с. 49—62.
  8. .
  9. .
  10. .
  11. .
  12. .
  13. .
  14. .
  15. .
  16. .
  17. ↑ , с. 258 – 262.
  18. , с. 50 – 66.
  19. , с. 389—410.
  20. , с. 201–208.
  21. , с. 277—311.
  22. .
  23. , с. 43—77.
  24. , с. 49—58.
  25. , с. 291—322.
  26. , с. 315.
  27. .
  28. .
  29. , с. 4323—4335.

Литература

  • Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 210. Sitzung am 26. März 1924. — Göttingen: Dieterichsche Universitätsbuchdruckerei, 1924.
  • Einfache Bemerkungen über Nabelpunktskurven // Festschrift 25 Jahre zur Feier ihres 25jährigen Bestehens, 1910—1935. — Breslau: W. G. Korn, 1935. — С. 105 – 107.
    • Constantin Carathéodory. Gesammelte Mathematische Schriften. — München: C. H. Beck, 1957. — Т. 5. — С. 26–30.
  • Cohn-Vossen S. Der Index eines Nabelpunktes im Netz der Krümmungslinien // Proceedings of the International Congress of Mathematicians / Nicola Zanichelli Editore. — Bologna, 1929. — Т. II.
  • Blaschke W. Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln, Vorlesungen über Differentialgeometrie. — Berlin: Springer-Verlag , 1929. — Т. 3. — С. XXIX. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften).
  • Littlewood J.E. A mathematician's miscellany. — Nabu Press, 2011. — ISBN 978-1179121512 .
  • Hamburge H. // Ann. Math. . — 1940. — Т. 41 . — С. 63—86 .
  • Hamburge H. Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. II // Acta Math. . — 1941. — Т. 73 . — С. 175—228 .
  • Hamburge H. Beweis einer Caratheodoryschen Vermutung. III // Acta Math. . — 1941. — Т. 73 . — С. 229—332 .
  • Struik D. J. // Bull. Amer. Math. Soc. . — 1931. — Т. 37 , вып. 2 . — С. 49—62 . — doi : .
  • Yau S. T. Problem Section // Seminar on Differential Geometry / ed. S.T. Yau. — Princeton, 1982. — Т. 102. — С. 684. — (Annals of Mathematics Studies).
  • Berger M. A Panoramic View of Riemannian Geometry. — Springer, 2003. — ISBN 3-540-65317-1 .
  • Berger M. Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry. — Springer, 2010. — ISBN 3-540-70996-7 .
  • Nikolaev I. Foliations on Surfaces // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. — Springer, 2001. — Т. 3. — (Folge A Series of Modern Surveys in Mathematics). — ISBN 3-540-67524-8 .
  • Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry. — Dover, 1978. — ISBN 0-486-65609-8 .
  • Toponogov V. A. Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide. — Boston: Birkhäuser, 2006. — ISBN 978-0-8176-4402-4 .
    • Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — 2012. — ISBN 9785891552135 .
  • R.V. Gamkrelidze (Ed.). Geometry I: Basic Ideas and Concepts of Differential Geometry. — Springer, 1991. — (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 0-387-51999-8 .
    • Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. / составитель Гамкрелидзе Р.В.. — М. , 1988. — Т. 28. — С. 5-289. — ((Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) «Современные проблемы математики, Фундаментальные направления»).
  • Hamburger H. Ein Satz über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen // Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1922. — Т. 21. — С. 258 – 262.
  • Hamburge H. Über Kurvennetze mit isolierten Singularitäten auf geschossenen Flächen // . — 1924. — Т. 19 . — С. 50 – 66 .
  • Bol G. // . — 1944. — Т. 49 . — С. 389—410 .
  • Blaschke W. Sugli ombelichi d'un ovaloide // Atti Convegno Mat. Roma 1942. — 1945. — С. 201–208.
  • Tilla Klotz. On G. Bol's proof of Carathéodory's conjecture // Commun. Pure Appl. Math. . — 1959. — Т. 12 . — С. 277—311 .
  • Scherbel H. A new proof of Hamburger's index theorem on umbilical points. — ETH Zürich , 1993. — (Dissertation no. 10281).
  • Titus C. J. A proof of a conjecture of Loewner and of the conjecture of Carathéodory on umbilic points // Acta Math. . — 1973. — Т. 131 , вып. 1—2 . — С. 43—77 .
  • Sotomayor J., Mello L. F. A note on some developments on Carathéodory conjecture on umbilic points // Exposition Math.. — 1999. — Т. 17 , вып. 1 . — С. 49—58 . — ISSN .
  • Gutierrez C., Sotomayor J. Lines of curvature, umbilic points and Carathéodory conjecture. — 1998. — Т. 3. — С. 291—322.
  • Иванов В. В. . — 2002. — Т. 43. — С. 251—322. — doi : .
  • Guilfoyle B., Klingenberg W. . — 2013.
  • M. Ghomi. . — 2017.
  • Ghomi M., Howard R. . — 2012. — Т. 140. — С. 4323-4335. — ( Proc. Amer. Math. Soc. ).
Источник —

brigid
  • 2021-07-20
  • 1
  • Tags:

Same as Гипотеза Каратеодори

The title for the last searches