Функции Крылова ( функции Крылова — Дункана ) — система из четырёх функций, представляющих собой общее решение дифференциального уравнения :

${\displaystyle {\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=ay}$ .

(1)

Общее решение уравнения (1) при ${\displaystyle a\geq 0}$ выражается как линейная комбинация четырёх функций:

${\displaystyle y(x)=C_{1}\cdot \operatorname {K} _{1}(\beta x)+C_{2}\cdot \operatorname {K} _{2}(\beta x)+C_{3}\cdot \operatorname {K} _{3}(\beta x)+C_{4}\cdot \operatorname {K} _{4}(\beta x)}$ ,

где ${\displaystyle \beta ={\sqrt[{4}]{a}}}$ .

Обычно в качестве функций ${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {K} _{3}(x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {K} _{4}(x)}$ используются ${\displaystyle e^{x}}$ , ${\displaystyle e^{-x}}$ , ${\displaystyle \sin x}$ и ${\displaystyle \cos x}$ , но в задачах теории упругости используются функции ${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {K} _{3}(x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {K} _{4}(x)}$ специального вида, называемые функциями Крылова в честь математика А. Н. Крылова , который применил эти функции для описания изгиба балки, лежащей на упругом основании . Иногда их обозначают символами ${\displaystyle \operatorname {S} (x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {T} (x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {U} (x)}$ , ${\displaystyle \operatorname {V} (x)}$ .

Независимо были введены английским учёным У. Дж. Дунканом .

Определение

Функции Крылова выражаются следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x+\cos x)}$ ,

${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x+\sin x)}$ ,

${\displaystyle \operatorname {K} _{3}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x-\cos x)}$ ,

${\displaystyle \operatorname {K} _{4}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x-\sin x)}$ .

Основное свойство функций Крылова в том, что производная от любой из них даёт предыдущую:

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)=\operatorname {K} _{2}'(x)=\operatorname {K} _{3}''(x)=\operatorname {K} _{4}'''(x)=\operatorname {K} _{1}^{IV}(x)}$ .

Кроме того выполнены следующие начальные условия: при ${\displaystyle x=0}$ , первая функция равна 1, а все остальные равны 0:

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(0)=1}$ , ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(0)=\operatorname {K} _{3}(0)=\operatorname {K} _{4}(0)=0}$ .

Функции Крылова — Власова

При ${\displaystyle a<0}$ решение уравнения (1) выражается через функции

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x}$ ,

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{2}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \sin x}$ ,

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{3}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \cos x}$ ,

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{4}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \sin x}$ ,

которые называются функциями Крылова — Власова в честь В.З. Власова . Общим решением уравнения (1) при ${\displaystyle a<0}$ является линейная комбинация четырёх функций ${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{i}(\beta x)}$ (при ${\displaystyle i=1,2,3,4}$ ), где ${\displaystyle \beta ={\sqrt[{4}]{-a/4}}}$ .

Чаще при решении задач используются различные комбинации функций Крылова — Власова, которые также называют функциями Крылова:

${\displaystyle \operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x=\operatorname {\Phi } _{1}(x)}$ ,

${\displaystyle \operatorname {V} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x+\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)+\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)}$ ,

${\displaystyle \operatorname {V} _{3}(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sh} x\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\operatorname {\Phi } _{2}(x)}$ ,

${\displaystyle \operatorname {V} _{4}(x)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x-\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)-\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)}$ .

Основные свойства функций Крылова в этом случае почти сохраняются:

${\displaystyle \operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {V} _{2}'(x)=\operatorname {V} _{3}''(x)=\operatorname {V} _{4}'''(x)=-{\frac {1}{4}}\operatorname {V} _{1}^{IV}(x)}$ .

${\displaystyle \operatorname {V} _{1}(0)=1}$ , ${\displaystyle \operatorname {V} _{2}(0)=\operatorname {V} _{3}(0)=\operatorname {V} _{4}(0)=0}$ .

См. также

• Тригонометрические функции
• Гиперболические функции

Примечания

Литература

• Крылов А. Н. О расчёте балок, лежащих на упругом основании. — Л.: АН СССР, 1931. — 154 с.