Диаграммы Юнга — наглядный способ описания представлений симметрических и полных линейных групп и изучения их свойств.

История

Диаграммы Юнга были предложены , математиком из Кембриджского университета , в 1900 году . Впоследствии в 1903 году они были использованы Георгом Фробениусом для изучения симметрических групп.

Дальнейшее развитие диаграмм Юнга прослеживается в работах многочисленных математиков — таких, как , Вильям Ходж , , , и .

Определения

Примечание: в этой статье для диаграмм и таблиц используется способ записи, принятый в англоязычных странах .

Диаграммы

Диаграмма Юнга (также называемая диаграммой Ферре в случаях, когда вместо ячеек используют точки ) — это конечный набор ячеек или клеток, выровненных по левой границе, в котором длины строк образуют невозрастающую последовательность (каждая строка такой же длины как предыдущая, или короче). Набор чисел, состоящий из длин строк, задаёт разбиение λ неотрицательного целого числа n , которое равно общему количеству ячеек диаграммы. Аналогично, про конкретно взятое разбиение λ говорят, что оно задаёт форму соответствующей диаграммы Юнга.

Включение одной диаграммы Юнга в другую задаёт частичный порядок на множестве всех разбиений, что, в свою очередь, задаёт структуру, называемую .

Разбиение, задаваемое транспонированной диаграммой Юнга, называется разбиением, сопряжённым или транспонированным к λ .

Таблицы

Таблицей Юнга называется диаграмма Юнга, клетки которой заполнены символами из какого-нибудь алфавита , который обычно предполагается вполне упорядоченным множеством . Изначально, алфавитом полагалось множество пронумерованных переменных x ₁ , x ₂ , x ₃ …, но в настоящее время, для краткости, чаще используются натуральные числа. В их классическом применении к , таблицы Юнга заполнены n различными числами, произвольно вписанными в клетки диаграммы. Таблица называется стандартной , если числа возрастают в каждой строчке и в каждом столбце. Число различных стандартных таблиц Юнга с n элементами описывается числом инволюций в симметрической группе порядка n :

1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, … (последовательность в OEIS ).

В других приложениях бывает естественным разрешить повторения некоторых чисел (а какие-то не использовать вовсе). Таблица называется полустандартной , если числа не убывают по горизонтали и возрастают по вертикали. Выписывая, сколько раз каждое число появилось в таблице, мы получаем последовательность, известную как вес таблицы. Поэтому стандартные таблицы Юнга в точности совпадают с полустандартными таблицами веса (1,1,…,1).

Вариации

Существуют вариации определения таблицы: например, в «строчно-строгой» таблице числа строго возрастают вдоль строк, и не возрастают вдоль столбцов. Таблицы с убывающими числами рассматриваются в теории . Существуют и другие обобщения (domino tableaux, ribbon tableaux), где клеточки могут объединяться до того, как им назначают числа.

Косые таблицы Юнга

Косая форма — это пара разбиений ( λ , μ ), такая что диаграмма Юнга для λ содержит диаграмму для μ ; обозначение: λ / μ . Если λ =( λ ₁ , λ ₂ ,…) и μ =( μ ₁ , μ ₂ ,…), то вложение диаграмм означает, что μ _i ≤ λ _i для всех i . Косая диаграмма косой формы λ / μ — это теоретико-множественная разность диаграмм для λ и для μ : множество квадратов, принадлежащих диаграмме для λ , но не принадлежащих диаграмме для μ . Косая таблица формы λ / μ получается посредством заполнения клеток соответствующей косой диаграммы; такая таблица называется полустандартной, если числа не убывают по строкам и возрастают по столбцам; полустандартная таблица называется стандартной, если каждое число от единицы до количества клеток встречается ровно один раз. В то время как отображение из разбиений в их диаграммы Юнга является инъективным, то же самое не верно для отображения из косых форм в косые диаграммы; Хотя многие свойства косых таблиц зависят только от заполненных квадратов, некоторые могут зависеть и от косой формы. Таблицы Юнга могут быть отождествлены с косыми таблицами, для которых разбиение μ пустое (разбиение нуля).

Любая косая полустандартная таблица T формы λ / μ , заполненная положительными целыми числами, порождает последовательность разбиений (или последовательность диаграмм Юнга): первый элемент — это μ , а i -й получается добавлением всех ячеек, содержащих число, меньшее или равное i ; в конце концов получается диаграмма λ . Любая пара соседних форм в этой последовательности образует косую форму, в каждом столбце которой не более одной ячейки; такие формы называются горизонтальными полосками . Эта последовательность полностью определяет таблицу T , и иногда в литературе (например, в книге Макдональда) косые полустандартные формы определяют как последовательности такого вида.

Приложения

Диаграммы Юнга находят многочисленные применения в комбинаторике , теории представлений и алгебраической геометрии . Были исследованы различные способы подсчёта числа диаграмм, которые привели к определению и формулам для многочленов Шура . Известно множество алгоритмов, выполняемых непосредственно на диаграммах, такие как («игра в пятнашки») Шютценбергера и соответствие Робинсона — Шенстеда — Кнута . Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве полустандартных диаграмм Юнга, приводящее в итоге к структуре, известной как .

В теории представлений, стандартные таблицы Юнга размера k описывают базисы неприводимых представлений симметрической группы S _k . в конечномерном неприводимом представлении полной линейной группы GL _n параметризуется множеством полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы над алфавитом {1, 2, …, n }. Из этого факта вытекает несколько важных следствий для теории инвариантов , начиная с работ Ходжа по грассманианов , за которыми последовали работы и , вместе с соавторами и . , описывая (среди прочего) разложение тензорного произведения неприводимых представлений GL _n на неприводимые компоненты, формулируется в терминах определённых косых полустандартных таблиц.

Приложения в алгебраической геометрии сосредоточены вокруг на грассманианах и . Некоторые важные классы когомологий могут быть представлены с помощью и описаны в терминах диаграмм Юнга.

Приложения в теории представлений

Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми представлениями симметрической группы (над комплексными числами ). Они предоставляют удобный способ задания , на которых строится . Многие факты о представлениях могут быть выведены из соответствующих диаграмм. Ниже приведены два примера: определение размерности представления и ограниченные представления.

Диаграммы Юнга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления полной линейной группы GL _n (когда они содержат не более n непустых строк), а также неприводимые представления специальной линейной группы SL _n (когда они содержат не более n − 1 непустых строк) и неприводимые комплексные представления специальной унитарной группы SU _n (опять же, когда они содержат не более n − 1 непустых строк). В этих случаях центральную роль играют полустандартные таблицы с числами, не превосходящими n (в частности, их число определяет размерность представлений).

Формула крюков

Размерность неприводимого представления π _λ (отвечающего разбиению λ числа n ) симметрической группы S _n равняется количеству различных стандартных таблиц Юнга, соответствующим диаграмме разбиения. Это число может быть посчитано по .

Длиной крюка hook( x ) клетки x в диаграмме Y ( λ ) формы λ называется число клеток в той же строке правее плюс число клеток в том же столбце ниже плюс один (сама клетка). По формуле крюков, размерность неприводимого представления равняется n ! , поделённому на произведение длин всех крюков диаграммы:

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\mathrm {hook} (x)}}.}$

Рисунок справа иллюстрирует длины крюков для диаграммы разбиения 10 = 5 + 4 + 1. Поэтому

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.}$

Аналогично, размерность неприводимого представления W ( λ ) группы GL _r , отвечающее разбиению λ числа n (на не более чем r слагаемых), равна количеству полустандартных таблиц формы λ (содержащих только числа от 1 до r ), которое даётся формулой:

${\displaystyle \dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+j-i}{\mathrm {hook} (i,j)}},}$

где индекс i нумерует строку, а индекс j нумерует столбец клетки. Например, разбиение (5,4,1) порождает размерность соответствующего неприводимого представления группы GL ₇ (обход клеток построчный):

${\displaystyle \dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.}$

Ограниченные представления

Представление симметрической группы S _n на n элементах является также представлением симметрической группы на n − 1 элементе, S _{n −1} . Однако неприводимое представление S _n не обязательно является неприводимым представлением S _{n −1} , а может быть прямой суммой нескольких таких представлений. Эти представления называются факторами .

Вопрос определения разложения ограниченного представления данного неприводимого представления S _n , отвечающего разбиению λ числа n , имеет следующий ответ. Рассматриваются все диаграммы Юнга, которые можно получить из диаграммы формы λ удалением одной клетки (которая должна находиться в конце своей строки и своего столбца). Ограниченное представление тогда разлагается в прямую сумму неприводимых представлений S _{n −1} , соответствующих этим диаграммам, причём каждое из них в сумме встречается ровно один раз.

См. также

• Разбиение числа
• Алгоритм Робинсона — Шенстеда

Примечания

Литература

• Берштейн М. А., Мерзон Г. А. . . — Препринт. от 15 апреля 2015 на Wayback Machine
• Буфетов А. И. , Житлухин М. М., Н. Е. Козин Н. Е. . . — М. : Изд-во МЦНМО, 2013. — ISBN 978-5-4439-0077-3 .
• Смирнов Е. Ю. . . — М. : Изд-во МЦНМО, 2014. — ISBN 978-5-4439-0137-4 .
• Фултон, Уильям . . Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии = Young Tableaux With Application to Representation Theory and Geometry. — М. : Изд-во МЦНМО, 2006. — ISBN 5-94057-165-4 .
• Cvitanović, Predrag. . Group Theory: Birdtracks, Lie’s, and Exceptional Groups. — Princeton: Princeton University Press, 2008.
• Fulton, William; Harris, Joe. . Representation theory. A first course. — New York: Springer-Verlag, 1991. — (Graduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics, vol. 129). — ISBN 978-0-387-97495-8 . (Lecture 4)
• Georgi, Howard. . Lie Algebras in Particle Physics, 2nd edition. — Westview.
• Macdonald I. G. . Symmetric functions and Hall polynomials (англ.) . — Oxford: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1979. — viii + 180 p. — (Oxford Mathematical Monographs). — ISBN 0-19-853530-9 . MR :
• Manivel, Laurent. . Symmetric Functions, Schubert Polynomials, and Degeneracy Loci. — American Mathematical Society.
• Novelli, Jean-Christophe; Pak, Igor ; Stoyanovkii, Alexander V. . . — Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science , 1997, 1 . — P. 53—67.
• Sagan, Bruce E. . The Symmetric Group. — Springer, 2001. — ISBN 0-387-95067-2 .
• Vinberg E. B. . // Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics . — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Yong, Alexander. . . — Notices of the American Mathematical Society , 2007, 54 (2). — P. 240—241.

Ссылки

• Буфетов А. И., Козин Н. Е. // Летняя школа «Современная математика», 2010. 19 июля 2010 г. 15:30, г. Дубна
• Weisstein, Eric W. // MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. // MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• entry in the database
• entry in the database