Теоре́ма Клеро́ — закон, описывающий зависимость между параметрами сфероида , силой тяжести на его поверхности и коэффициентами разложения гравитационного потенциала . Опубликован в 1743 году французским математиком А. Клеро в работе фр. Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique («Теория формы Земли, извлечённая из принципов гидростатики») , где Клеро привёл физические и геодезические доказательства того, что Земля имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения . Выведенная Клеро закономерность позволяла рассчитать параметры земного эллипсоида на основе измерений силы тяжести на разных широтах.

Формула Клеро для ускорения силы тяжести g на поверхности Земли на широте ${\displaystyle \varphi }$ выглядит следующим образом :

${\displaystyle g=G\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi \right]\ ,}$

где G — значение ускорения силы тяжести на экваторе , m — отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе и f — величина сплюснутости земного эллипсоида, определяемая как:

${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}\ ,}$

(где a — большая полуось, b — малая полуось Земли соответственно).

Вышеприведённую формулу Клеро рассматривал как справедливую при условии, что рассматривается гидростатически равновесная модель, где массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев . Впоследствии Пьер Лаплас смягчил исходное предположение, предположив, что поверхности равной плотности являются сфероидами . Дж. Стокс в 1849 году показал, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известны также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения, то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве .

Реальная форма Земли является результатом взаимодействия между силой тяготения и центробежной силой , вызванной вращением Земли вокруг своей оси . В своих « Началах » Исаак Ньютон предложил считать Землю эллипсоидом вращения с коэффициентом сплюснутости f , равным 1/230 . Применяя теорему Клеро, Лаплас на основе 15 измерений величины силы тяжести получил оценку: F = 1/330. Современная оценка этой величины: 1/298,25642 .

Уравнение Сомильяны

Вышеприведённая формула Клеро для расчёта величины земного тяготения впоследствии была заменена более точным уравнением Сомильяны (выведено итальянским математиком (англ.) ( ):

${\displaystyle g=G\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right]\ ,}$

где для Земли: G = 9,7803267714 м/с² ; k = 0,00193185138639 ; e = 0,00669437999013 .

См. также

• Фигура Земли
• Референц-эллипсоид

Примечания