Уравнение Каратеодо́ри (названо в честь немецкого математика греческого происхождения Константина Каратеодори ) — обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\ n\geqslant 1,\quad (*)}$

в котором правая часть (то есть компоненты вектор-функции ${\displaystyle f}$ ) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единственность решения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов и условие Липшица по ${\displaystyle x}$ ), а некоторому существенно более слабому условию, называемому условием Каратеодори :

• вектор-функция ${\displaystyle f}$ определена и непрерывна по ${\displaystyle x}$ для почти всех (в смысле меры Лебега ) ${\displaystyle t}$ в области ${\displaystyle D}$ пространства ${\displaystyle (t,\;x)}$ .
• вектор-функция ${\displaystyle f}$ измерима по ${\displaystyle t}$ для каждого ${\displaystyle x}$ в области ${\displaystyle D}$ .
• для каждого ограниченного интервала оси ${\displaystyle t}$ в области ${\displaystyle D}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(t,\;x)|\leqslant m(t),}$ где ${\displaystyle m(t)}$ — суммируемая (то есть интегрируемая по Лебегу ) функция.

Решением уравнения Каратеодори (*) с начальным условием ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ называется измеримая вектор-функция ${\displaystyle x(t),}$ удовлетворяющая интегральному уравнению

${\displaystyle x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad (**)}$

Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции ${\displaystyle f}$ . Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции ${\displaystyle x(t)}$ и удовлетворяющей условию Каратеодори функции ${\displaystyle f(t,\;x)}$ является суммируемой функцией от переменной ${\displaystyle t.}$

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущими классическим уравнениям с непрерывной правой частью.

Теорема существования и единственности

• Предположим, что условие Каратеодори выполнено в области ${\displaystyle D=\{t_{0}\leqslant t\leqslant t_{0}+a,\;|x-x_{0}|\leqslant b\}}$ , ${\displaystyle a,\;b>0,}$ тогда существует такое ${\displaystyle \delta >0,}$ что уравнение (*) с начальным условием ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ имеет решение ${\displaystyle x(t)}$ на отрезке ${\displaystyle [t_{0},\;t_{0}+\delta ].}$ В качестве ${\displaystyle \delta }$ можно взять любое число, удовлетворяющее условиям

${\displaystyle 0<\delta \leqslant a,\quad \mu (t_{0}+\delta )\leqslant b,\quad \mu (t):=\int \limits _{t_{0}}^{t}m(\tau )\,d\tau .}$

• Если существует такая суммируемая функция ${\displaystyle l(t),}$ что выполняется неравенство

${\displaystyle |f(t,\;x)-f(t,\;y)|\leqslant l(t)|x-y|,\quad \forall (t,\;x),\;(t,\;y)\in D,}$

или неравенство

${\displaystyle (f(t,\;x)-f(t,\;y))\cdot (x-y)\leqslant l(t)|x-y|^{2},\quad \forall (t,\;x),\;(t,\;y)\in D,}$

где в случае ${\displaystyle n>1}$ точка означает скалярное произведение , то уравнение (*) с начальным условием ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ в области ${\displaystyle D}$ имеет не более одного решения.

Литература

• Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Москва: Наука, 1985.

Ссылки