Формула суммирования Абеля
, введённая норвежским математиком
Нильсом Хенриком Абелем
, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.
Формула
Пусть
a
n
{\displaystyle a_{n}}
— последовательность
действительных
или
комплексных
чисел и
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
—
непрерывно дифференцируемая
на луче
[
1
,
x
)
{\displaystyle [1,x)}
функция. Тогда
∑
1
≤
n
≤
x
a
n
f
(
n
)
=
A
(
x
)
f
(
x
)
−
∫
1
x
A
(
u
)
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u}
где
A
(
x
)
:=
∑
0
<
n
≤
x
a
n
.
{\displaystyle A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.}
Доказательство
Представим обе части равенства как функции от
x
{\displaystyle x}
. Во-первых, заметим, что при
x
=
1
{\displaystyle x=1}
равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых
x
{\displaystyle x}
обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом
x
{\displaystyle x}
левая часть имеет скачок
a
x
f
(
x
)
{\displaystyle a_{x}f(x)}
, такой же скачок имеет функция
A
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle A(x)f(x)}
, а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
.
Если частичные суммы ряда
a
n
{\displaystyle a_{n}}
ограничены, а
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0}
, то предельным переходом можно
получить следующее равенство
∑
n
=
1
∞
a
n
f
(
n
)
=
−
∫
1
+
∞
A
(
u
)
f
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u}
В общем случае,
∑
x
<
n
≤
y
a
n
f
(
n
)
=
A
(
y
)
f
(
y
)
−
A
(
x
)
f
(
x
)
−
∫
x
y
A
(
u
)
f
′
(
u
)
d
u
.
{\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.}
Примеры
Для
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
и
f
(
x
)
=
1
x
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\,,}
легко видеть, что
A
(
x
)
=
⌊
x
⌋
,
{\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}
тогда
∑
n
=
1
x
1
n
=
⌊
x
⌋
x
+
∫
1
x
⌊
u
⌋
u
2
d
u
=
⌊
x
⌋
x
+
l
n
(
x
)
−
∫
1
x
{
u
}
u
2
d
u
{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u}
перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для
постоянной Эйлера — Маскерони
:
γ
=
1
−
∫
1
∞
{
u
}
u
2
d
u
{\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du}
, где
{
t
}
{\displaystyle \left\{t\right\}}
—
дробная часть
числа
t
{\displaystyle t}
.
Для
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
и
f
(
x
)
=
1
x
s
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}
аналогично
A
(
x
)
=
⌊
x
⌋
,
{\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}
тогда
∑
1
∞
1
n
s
=
s
∫
1
∞
⌊
u
⌋
u
1
+
s
d
u
=
s
(
∫
1
∞
u
u
1
+
s
d
u
−
∫
1
∞
{
u
}
u
1
+
s
d
u
)
=
1
+
1
s
−
1
−
s
∫
1
∞
{
u
}
u
1
+
s
d
u
.
{\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}
Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области
ℜ
(
s
)
>
0
,
{\displaystyle \Re (s)>0,}
поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
имеет простой
полюс
с
вычетом
1 в точке
s
= 1.
megan
