Плотность свободной энергии Франка — Озеена (свободной энергии деформации жидкого кристалла) — величина, описывающая увеличение плотности свободной энергии жидкого кристалла , вызванное деформацией кристалла из конфигурации с однородным распределением поля директора.

Название дано в честь британского физика Фредерика Франка и шведского физика Карла Озеена , внёсших большой вклад в изучение жидких кристаллов .

Нематический жидкий кристалл

Плотность свободной энергии деформации нематического жидкого кристалла представляет меру увеличения плотности свободной энергии из-за отклонений ориентации директора от однородной. Следовательно, полную плотность свободной энергии можно записать в виде:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\mathcal {F}}_{d}}$ ,

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$ — полная свободная энергия жидкого кристалла; ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ — свободная энергия нематика с однородно распределённым полем директора; ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}}$ — свободная энергия деформаций.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{1}(\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}}$

Константы ${\displaystyle K_{i}}$ называются постоянными Франка . Они, как правило, порядка ${\displaystyle 10^{-6}}$ дин . Каждое из трёх слагаемых соответствует определённому типу деформации нематика: первое — поперечному изгибу , второе — кручению , третье — продольному изгибу. Комбинация этих слагаемых может использоваться для описания произвольной деформации жидкого кристалла. Часто бывает, что все три константы Франка являются величинами одного порядка, поэтому зачастую полагают ${\displaystyle K_{1}=K_{2}=K_{3}=K}$ . Это приближение обычно называют одноконстантным, и его часто используют, так как оно значительно упрощает выражение для свободной энергии деформации:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K((\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+(\operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2})={\frac {1}{2}}K\partial _{\alpha }n_{\beta }\partial _{\alpha }n_{\beta }}$

К свободной энергии обычно добавляют четвёртое слагаемое, которое называется энергией седловидного изгиба и описывает поверхностное взаимодействие. Это слагаемое, впрочем, зачастую игнорируют при вычислении распределения поля директора, поскольку энергия, заключённая в объёме, гораздо больше энергии, связанной с поверхностными эффектами. Оно записывается в виде:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}K_{24}\nabla \cdot ((\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla )\mathbf {\hat {n}} -\mathbf {\mathbf {\hat {n}} } (\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} ))}$ .

Холестерический жидкий кристалл

Для жидких кристаллов, состоящих из хиральных молекул , к плотности свободной энергии деформации добавляется дополнительное слагаемое. Оно меняет знак при изменении направления директора на обратное и даётся формулой:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Ch}=k_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )}$

Множитель ${\displaystyle k_{2}}$ не зависит от степени молекулярной хиральности . Поэтому для холестерического жидкого кристалла полная свободная энергия записывается в виде:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\frac {1}{2}}K_{1}(\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} +q_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}}$ ,

где ${\displaystyle q_{0}=2\pi /P_{0}}$ , а ${\displaystyle P_{0}}$ есть шаг холестерической спирали.

Примечания

Литература

• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. . Статистическая физика. Ч. 1. 5-е изд. — М. : Физматлит , 2010. — 616 с. — ( Курс теоретической физики, т. V ). — ISBN 978-5-9221-0054-0 .
• Chaikin P. M., Lubensky T. C. . . — Cambridge: Cambridge University Press , 1995. — 699 p. — ISBN 0-521-43224-3 .
• Chandrasekhar, Sivaramakrishna. . Liquid Crystals. 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press , 1992. — xv + 460 p. — ISBN 0-521-41747-3 .
• de Gennes P. G., Prost J. . The Physics of Liquid Crystals. 2nd edition. — Oxford: Clarendon Press, 1995. — 616 p. — ISBN 0-19-851785-8 .