Interested Article - Гиперболоидная модель
![](/images/007/760/7760497/1.jpg?rand=855897)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/38e18925d2a8e9c1df99bd4d6462af86.jpg)
- 2021-05-05
- 1
![](/images/007/760/7760497/1.jpg?rand=843401)
Гиперболоидная модель , известная также как модель Минковского или лоренцева модель ( Герман Минковский , Хендрик Лоренц ), является моделью n -мерной геометрии Лобачевского , в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности двуполостного гиперболоида в ( n +1)-мерном пространстве Минковского а m -плоскости представлены пересечением ( m +1)-плоскостей в пространстве Минковского с S + . Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n -мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре , так как они являются проективными моделями в смысле, что является подгруппой проективной группы .
Квадратичная форма Минковского
Если являются векторами в ( n + 1) -мерном координатном пространстве , квадратичная форма Минковского определяется как
Вектора , такие, что , образуют n -мерный гиперболоид S , состоящий из двух связных компонент , или листов — верхний, или будущее, лист , где и нижний, или прошлое, лист , где . Точки n -мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего .
Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q ,
Или в явном виде,
Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства задаётся формулой ,
где arch является обратной функцией гиперболического косинуса .
Прямые
Прямая в гиперболическом n -пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n +1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с
и используем w как параметр для точек на геодезической, то
будет точкой на геодезической .
Более обще, k -мерная «плоскость» в гиперболическом n -пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k +1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.
Движения
Неопределённая ортогональная группа O(1, n ), называемая также ( n +1)-мерной группой Лоренца , является группой Ли вещественных ( n +1)×( n +1) матриц , которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского . В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S . Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n -мерном), и образуют четверную группу Клейна . Подгруппа O(1, n ), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца , обозначаемой O + (1, n ), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO + (1, n ), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n ( n +1)/2, которая действует на S + линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида
где принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO( n ) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3 ). Отсюда следует, что n -мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,
Группа SO + (1, n ) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n -мерного гиперболического пространства.
История
- В нескольких статьях между 1878 и 1885 Вильгельм Киллинг использовал представление геометрии Лобачевского , которое он приписывает Карлу Вейерштрассу . В частности, он обсуждает квадратичные формы, такие как или для произвольных размерностей , где является двойственной мерой кривизны, означает евклидову геометрию , эллиптическую геометрию , а означает гиперболическую геометрию. Для подробностей см. .
- Согласно Джереми Грею (1986) Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы . Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах Пуанкаре . Для подробностей см. .
- Также Хомершем Кокс в 1882 использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению , а также соотношению . Для подробностей см. .
- Далее модель использовали Альфред Клебш и Фердинанд фон Линдеман в 1891 при обсуждении соотношений и . Для подробностей см. .
- Координаты Вейерштрасса использовали также .
Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение на , координаты Вейерштрасса точки равны
что можно сравнить с выражением
для модели полусферы .
Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как
где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил путём использования .
Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде» . В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical Monthly .
Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского . Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности» упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу , а не к Вейерштрассу или Киллингу.
В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты Вейерштрасса .
См. также
Примечания
- ↑ .
- , с. 72-83.
- , с. 265-287.
- .
- , с. 271-2.
- , с. 132 -138.
- , с. 71-91.
- , с. 178-192.
- , с. 193-215.
- , с. 524.
- .
- , с. 409-440.
- , с. 442-55.
- , с. 91–127.
- , с. 103–127.
Литература
- Killing W. (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1878. — Bd. 86 . — S. 72-83 .
- Killing W. (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1880. — Bd. 89 . — S. 265-287 .
- Killing W. (нем.) . — 1885.
- Jeremy Gray. Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincaré (англ.) . — 1986. — P. 271-2.
- Poincaré H. (фр.) // Association française pour l'avancement des sciences. — 1881. — Vol. 10 . — P. 132-138 .
- Poincaré H. On the fundamental hypotheses of geometry // Collected works (англ.) . — 1887. — Vol. 11. — P. 71-91.
- Cox H. (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1881. — Vol. 18 , iss. 70 . — P. 178-192 .
- Cox H. (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1882. — Vol. 18 , iss. 71 . — P. 193-215 .
- Lindemann F. (нем.) . — Leipzig, 1891. — S. 524.
- Elena Deza, . (англ.) . — 2006.
- Jansen H. Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid (нем.) // Mitt. Math. Gesellsch Hamburg. — 1909. — H. 4 . — S. 409-440 .
- . (англ.) . — New York: B. Westerman, 1894.
- Alekseevskij D.V., Vinberg E.B., Solodovnikov A.S. Geometry of Spaces of Constant Curvature (англ.) . — Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. — (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 3-540-52000-7 .
- James Anderson. Hyperbolic Geometry (англ.) . — 2nd. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. — (Springer Undergraduate Mathematics Series). — ISBN 978-1-85233-934-0 .
- John G. Ratcliffe. Глава 3 // (англ.) . — Berlin, New York: Springer-Verlag , 1994. — ISBN 978-0-387-94348-0 .
- Miles Reid , Balázs Szendröi. Geometry and Topology (англ.) . — Cambridge University Press , 2005. — P. Figure 3.10, p 45. — ISBN 0-521-61325-6 .
- Patrick J. Ryan. (англ.) . — Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press , 1986. — ISBN 0-521-25654-2 .
- William F. Reynolds. (англ.) // American Mathematical Monthly . — 1993. — Iss. 100 . — P. 442-55 .
- Scott Walter. // The Symbolic Universe: Geometry and Physics (англ.) / J. Gray. — Oxford University Press, 1999. — P. 91–127.
- Varićak V. On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity (англ.) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1912. — Vol. 21 . — P. 103–127 .
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/38e18925d2a8e9c1df99bd4d6462af86.jpg)
- 2021-05-05
- 1