Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра

Преобразование ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ называется сопряжённым линейному преобразованию ${\displaystyle \varphi }$ , если для любых векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ выполнено равенство ${\displaystyle \left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)}$ . У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой ${\displaystyle A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }$ , если пространство евклидово , и формулой ${\displaystyle A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}}$ в унитарном пространстве . ${\displaystyle \Gamma }$ здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный , эти формулы принимают вид ${\displaystyle A^{*}=A^{T}}$ и ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}}$ соответственно.

Общее линейное пространство

Пусть ${\displaystyle E,\,L}$ — линейные пространства , а ${\displaystyle E^{*},\,L^{*}}$ — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов , определённых на ${\displaystyle E,\,L}$ ). Тогда для любого линейного оператора ${\displaystyle A\colon E\to L}$ и любого линейного функционала ${\displaystyle g\in L^{*}}$ определён линейный функционал ${\displaystyle f\in E^{*}}$ — суперпозиция ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle A}$ : ${\displaystyle f(x)=g(A(x))}$ . Отображение ${\displaystyle g\mapsto f}$ называется сопряжённым линейным оператором и обозначается ${\displaystyle A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}}$ .

Если кратко, то ${\displaystyle (A^{*}g,x)=(g,Ax)}$ , где ${\displaystyle (B,x)}$ — действие функционала ${\displaystyle B}$ на вектор ${\displaystyle x}$ .

Топологическое линейное пространство

Пусть ${\displaystyle E,\,L}$ — топологические линейные пространства , а ${\displaystyle E^{*},\,L^{*}}$ — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов , определённых на ${\displaystyle E,\,L}$ ). Для любого непрерывного линейного оператора ${\displaystyle A\colon E\to L}$ и любого непрерывного линейного функционала ${\displaystyle g\in L^{*}}$ определён непрерывный линейный функционал ${\displaystyle f\in E^{*}}$ — суперпозиция ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle A}$ : ${\displaystyle f(x)=g(A(x))}$ . Нетрудно проверить, что отображение ${\displaystyle g\mapsto f}$ линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также ${\displaystyle A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}}$ .

Банахово пространство

Пусть ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ — непрерывный линейный оператор , действующий из банахова пространства ${\displaystyle X}$ в банахово пространство ${\displaystyle Y}$ и пусть ${\displaystyle X^{*},Y^{*}}$ — сопряжённые пространства . Обозначим ${\displaystyle \forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)}$ . Если ${\displaystyle f}$ — фиксировано, то ${\displaystyle [Ax,f]}$ — линейный непрерывный функционал в ${\displaystyle X,[Ax,f]\in X^{*}}$ . Таким образом, для ${\displaystyle \forall f\in Y^{*}}$ определён линейный непрерывный функционал из ${\displaystyle X^{*}}$ , поэтому определён оператор ${\displaystyle A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}}$ , такой что ${\displaystyle [Ax,f]=[x,A^{*}f]}$ .

${\displaystyle A^{*}}$ называется сопряжённым оператором . Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для ${\displaystyle A^{*}}$ справедливы следующие свойства:

• Оператор ${\displaystyle A^{*}}$ — линейный.
• Если ${\displaystyle A}$ — линейный непрерывный оператор , то ${\displaystyle A^{*}}$ также линейный непрерывный оператор.
• Пусть ${\displaystyle O}$ — нулевой оператор , а ${\displaystyle E}$ — единичный оператор . Тогда ${\displaystyle O^{*}=O,E^{*}=E}$ .
• ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}$ .
• ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}}$ .
• ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$ .
• ${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}$ .

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора ${\displaystyle A\colon H\to H}$ равенство ${\displaystyle (Ax,y)=(x,A^{*}y)}$ определяет сопряжённый оператор ${\displaystyle A^{*}\colon H\to H}$ . Здесь ${\displaystyle (x,y)}$ — скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle H}$ .

См. также

• Эрмитов оператор

Примечания

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М. : Мир, 1971.
• Ворович И.И. , Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М. : Вузовская книга, 2000 . — 320 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука , 1980 . — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн . — 2-е, переработанное и дополненное. — М. : Наука , 1972 . — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз , 1963 . — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука , 1970 . — 352 с.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.