В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента ${\displaystyle x}$ в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, и ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ — ортонормированная последовательность элементов ${\displaystyle H}$ . Тогда для произвольного ${\displaystyle x\in H}$ выполняется неравенство :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ обозначает скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle H}$ .

Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

${\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

которое выполняется для произвольного ${\displaystyle n\geq 1}$ .

См. также

• Равенство Парсеваля

Ссылки

• от 29 июня 2011 на Wayback Machine статья на сайте MathWorld.
• (недоступная ссылка)

Примечания

Литература

• Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-x ч. Часть II. — 4-е. — М. : ФИЗМАТЛИТ , 2002. — 464 с. — ISBN 5-9221-0131-5 .