M-матрица в математике — это Z-матрица с собственными значениями, действительные части которой неотрицательны. Множество неособых M-матриц является подмножеством класса P-матриц , а также класса обратноположительных матриц (то есть матриц, обратные к которым принадлежат классу положительных матриц ) . Название M-матрица, по-видимому, первоначально было выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским , который доказал, что если у Z-матрицы все суммы строк положительны, то определитель этой матрицы положителен .

Характеристики

M-матрица обычно определяется следующим образом:

Определение: Пусть ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle n\times n}$ вещественная Z-матрица, то есть матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ такова, что ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$ для всех ${\displaystyle i\neq j}$ , ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ . Тогда матрица ${\displaystyle A}$ также является M-матрицей, если она представима в виде ${\displaystyle A=sI-B}$ , где ${\displaystyle B=(b_{ij})}$ , ${\displaystyle b_{ij}\geq 0}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ , где s по меньшей мере так же велико, как максимум модулей собственных значений ${\displaystyle B}$ , а ${\displaystyle I}$ — единичная матрица.

Для матрицы ${\displaystyle A}$ , согласно теореме Перрона-Фробениуса , должно выполняться условие s > ρ ( B ) . Кроме того, для неособой M-матрицы диагональные элементы ${\displaystyle a_{ii}\leq 0}$ матрицы ${\displaystyle A}$ должны быть положительными. Далее характеризуется только класс неособых M-матриц.

Известно много утверждений, эквивалентных этому определению неособых M-матриц, и любое из этих утверждений может служить отправным определением неособой M-матрицы . Например, Племмонс перечисляет 40 таких эквивалентностей . классифицировал эти характеристики с точки зрения их отношения к свойствам: (1) положительности главных миноров, (2) обратной положительности и расщеплений, (3) устойчивости и (4) полуположительности и диагонального доминирования. Имеет смысл классифицировать свойства таким образом, потому что операторы внутри определённой группы связаны друг с другом, даже если матрица ${\displaystyle A}$ является произвольной матрицей и не обязательно Z-матрицей.

Примечания