Обратная решётка — точечная трёхмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решётки удобно для описания дифракции рентгеновских лучей , нейтронов и электронов на кристалле. Обратная решётка (обратное пространство, ) является Фурье-образом прямой кристаллической решётки (прямого пространства).

Определение

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: кристаллическая решётка и обратная решётка. Можно определить векторы прямой ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} }$ и обратной ${\displaystyle \mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} }$ решёток. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина] ⁻¹ . Кристаллическая решётка — это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка — решётка в пространстве Фурье .

В кристаллографии обратная решётка состоит из множества векторов K , таких, что

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$

для всех векторов R , указывающих на положение узлов кристаллической решётки.

Для бесконечной трёхмерной решётки, характеризующейся базисными векторами ${\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )}$ , её обратная решётка задаётся тройкой базисных векторов обратной решётки ${\displaystyle (\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )}$ , связанных с базисными векторами прямой решётки соотношением ${\displaystyle \mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk}=\left\{{\begin{matrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{matrix}}\right.}$ и вычисленных по формулам

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}}$

${\displaystyle \mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{2}} \cdot (\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} )}}}$

${\displaystyle \mathbf {b_{3}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{3}} \cdot (\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} )}}}$

Вышеупомянутое определение называют физическим определением, так как множитель 2π возникает естественно из исследования периодических структур. Эквивалентное кристаллографическое определение возникает, если вектора обратной решётки подчиняются следующему соотношению ${\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$ , которое изменяет формулы для нахождения векторов обратной решётки:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}}$

и аналогично для других векторов. Кристаллографическое определение выгодно тем, что определяет ${\displaystyle \mathbf {b_{1}} }$ как обратную величину ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} }$ в направлении ${\displaystyle \mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }$ , без множителя 2π . Это может упростить определённые математические манипуляции и выражает взаимные измерения решётки в единицах пространственной частоты. Это вопрос удобства, какое определение векторов обратной решётки использовать, конечно не смешивая их.

Другими словами, каждую систему плоскостей можно полностью задать вектором обратной решётки b , который перпендикулярен плоскостям и равен по величине b = 2 π/d , где d — межплоскостное расстояние. Это можно считать определением векторов обратной решётки.

Кристаллографическое определение базиса в векторной алгебре называется взаимным базисом и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных с углами между векторами и смешанным произведением ^:212-214 .

Обратная решётка используется для определения индексов плоскости . Любой кристаллографической плоскости отвечает набор векторов обратной решётки, при этом коэффициенты разложения кратчайшего вектора по единичным векторам обратной решётки являются индексами плоскости.

Примечания

Источники

• Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. — М. : Наука, 1979. — 640 с.