В математике целочисленной матрицей называется матрица , элементы которой являются целыми числами . Целочисленными являются, например, бинарные матрицы , нулевая матрица , матрица единиц , единичная матрица и матрица смежности . Целочисленные матрицы часто применяются в комбинаторике и, в частности, в теории графов .

Примеры

Матрицы ${\displaystyle \left({\begin{array}{cccr}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&-3\\9&0&2&1\end{array}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{array}}\right)}$ являются целочисленными.

Свойства

• Определитель целочисленной матрицы является целым числом.
• Матрица, обратная целочисленной матрице ${\displaystyle M}$ , является целочисленной тогда и только тогда, когда определитель ${\displaystyle M}$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$ . Такие матрицы называются унимодулярными .
  • Целочисленные матрицы с определителем, равным ${\displaystyle 1}$ , образуют специальную линейную группу ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {Z} )}$ , которая используется в арифметике и геометрии. При ${\displaystyle n=2}$ она тесно связана с модулярной группой .
• Характеристический многочлен целочисленной матрицы имеет целочисленные коэффициенты.
  • В частности, собственные числа матрицы являются целыми алгебраическими числами.

Внешние ссылки