Граф Хигмана — Симса — это 22- регулярный неориентированный граф со 100 вершинами и 1100 рёбрами. Граф является уникальным сильно регулярным графом srg(100,22,0,6), т.е. никакая соседняя пара вершин не имеет общих соседей и любая несоседняя пара вершин имеет шесть общих соседей . Граф был впервые построен Меснером и был переоткрыт в 1968 Дональдом Дж. Хигманом и Чарльзом Симсом как путь определения и эта группа является подгруппой с индексом два в группе автоморфизмов графа Хигмана — Симса .

Построение начинается с графа M ₂₂ , 77 вершин которого являются блоками S(3,6,22) системы Штейнера W ₂₂ . Смежные вершины определяются как непересекающиеся блоки. Этот граф является сильно регулярным srg(77,16,0,4), т.е. любая вершина имеет 16 соседей, любые 2 смежные вершины не имеют общих соседей и любые 2 несмежные вершины имеют 4 общих соседа. Этот граф имеет M ₂₂ :2 в качестве группы автоморфизмов, где M ₂₂ является группой Матьё .

Граф Хигмана — Симса формируется путём добавления 22 точек W ₂₂ и 100-й вершины C. Соседи вершины C определяются как эти 22 точки. Точка смежна блоку тогда и только тогда, когда она принадлежит блоку.

Граф Хигмана — Симса можно разбить на две копии графа Хоффмана — Синглтона 352 способами.

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Хигмана — Симса является группой порядка 88 704 000, изоморфной полупрямому произведению порядка 44 352 000 на циклическую группу порядка 2 . Граф имеет автоморфизмы, переводящие любое ребро в любое другое ребро, что делает граф Хигмана — Симса рёберно-транзитивным .

Характеристическим многочленом графа Хигмана — Симса является ${\displaystyle (x-22)(x-2)^{77}(x+8)^{22}}$ . Таким образом, граф Хигмана — Симса является целым графом — его спектр состоит исключительно из целых чисел. Граф является также единственным графом с таким характеристическим многочленом, так что граф полностью определяется своим спектром.

Внутри решётки Лича

Граф Хигмана — Симса естественным образом внутри решётки Лича — если X , Y и Z являются тремя точками в решётке Лича, такими, что расстояния XY , XZ и YZ равны ${\displaystyle 2,{\sqrt {6}},{\sqrt {6}}}$ соответственно, то существует в точности 100 точек T решётки Лича, таких, что все расстояния XT , YT и ZT равны 2, и если мы соединим две такие точки T и T ′, когда расстояние между ними равно ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ , получившийся граф будет изоморфен графу Хигмана — Симса. Более того, множество всех автоморфизмов решётки Лича (то есть движение евклидового пространства, сохраняющих её) сохраняющих точки X , Y и Z , является группой Хигмана — Симса (если мы позволим обмен X и Y , получим расширение всех автоморфизмов графа порадка 2). Это показывает, что группа Хигмана — Симса обнаруживается внутри групп Конвея Co ₂ (с расширением порядка 2) и Co ₃ , а следовательно, также внутри группы Co ₁ .

Примечания

Литература