Interested Article - Метод Эйлера — Паркера

Метод Эйлера — Паркера — метод построения ортогонального квадрата для заданного латинского квадрата порядка $N$ . Предложен Паркером в 1959 году .

Метод

Пример диагонального латинского квадрата (а); множество его диагональных трансверсалей (б), элементы трансверсалей, лежащие на диагоналях, выделены серым; процесс построения ортогонального диагонального латинского квадрата из непересекающихся трансверсалей по методу Эйлера — Паркера (в).

Метод поиска состоит из трех шагов:

Построение множества трансверсалей заданного латинского квадрата.
Выбор из них подмножеств из $N$ непересекающихся трансверсалей.
Формирование ортогональных латинских квадратов из найденных подмножеств.

Построение трансверсалей и выбор непересекающихся подмножеств из них возможно реализовать с использованием метода полного перебора , однако более эффективной практической реализацией является полиномиальное сведение данных задач к , для решения которой эффективным является применение (DLX).

При поиске ортогональных диагональных латинских квадратов вместо трансверсалей общего вида используются диагональные трансверсали, в состав которых входит по одному элементу с главной и побочной диагонали квадрата.

Формирование ортогонального квадрата из найденного подмножества из $N$ непересекающихся трансверсалей производится путем заполнения каждой $i$ -й трансверсали значением $i$ в формируемом ортогональном квадрате.

Историческая справка

Первая пара ортогональных латинских квадратов порядка 10, найденная Паркером в 1959 г.

Леонардом Эйлером в ходе решения задачи о 36 офицерах была выдвинута гипотеза о том, что пары ортогональных латинских квадратов не существуют для всех размерностей $N=4t+2$ . Верность гипотезы для размерности $N=6$ была подтверждена Томасом Клаузеном в 1842 году. Поиск контрпримера к гипотезе Эйлера был осуществлен в 1957 году Пейджем и Томпкинсом с использованием метода полного перебора на компьютере SWAC , однако он не увенчался успехом ввиду необходимости огромных вычислительных затрат. В 1959 году Паркером было предложено построение ортогонального квадрата с использованием трансверсалей и компьютера UNIVAC и был найден контрпример к гипотезе Эйлера для порядка $N=10$ . Аналогичный результат, опровергающий гипотезу Эйлера, был опубликован том же году в работе Бозе и Шринкхенде . В 1992 году Брауном описан диагональный латинский квадрат порядка 10, имеющий одновременно 4 ортогональных диагональных латинских квадрата, 3 из которых приведены в статье, а 4-й был найден О. Заикиным с использованием подхода на базе SAT . В настоящее время известны диагональные латинские квадраты порядка 10, имеющие 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 10 нормализованных ортогональных диагональных латинских квадратов (последовательность в OEIS ). Они формируют 42 комбинаторных структуры (графа из диагональных латинских квадратов на множестве бинарного отношения ортогональности) . Большая часть из них была найдена в проекте добровольных распределенных вычислений Gerasim@Home начиная с 2017 г. Вопросы о существовании диагональных латинских квадратов порядка 10 с большим числом нормализованных ортогональных латинских квадратов и о существовании клики мощностью более двух из попарно ортогональных латинских квадратов порядка 10 в настоящее время являются открытыми.

См. также

Примечания

↑ Parker E.T. Orthogonal Latin squares // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. Vol. 45(6). 1959. pp. 859–862.
Bose R.C., Shrikhande S.S. On the falsity of Euler's conjecture about the non-existence of two orthogonal latin squares of order 4t + 2 // Proc Natl Acad Sci U S A. 1959 May; 45(5): 734–737.
Brown J.W., Cherry F., Most L., Most M., Parker E.T., Wallis W.D. Completion of the spectrum of orthogonal diagonal Latin squares // Lecture notes in pure and applied mathematics. 1992. Vol. 139. pp. 43–49.
. Дата обращения: 5 июня 2020. 21 мая 2020 года.

Литература

Кнут Д.Э. Искусство программирования. Т. 4А. Комбинаторные алгоритмы. Ч. 1. М.: Вильямс, 2013. 960 с.
Colbourn C.J., Dinitz J.H. Handbook of Combinatorial Designs, Second Edition. Chapman & Hall/CRC, 2006. 1016 p.
Keedwell A.D., Dénes J. Latin Squares and their Applications. Elsevier, 2015. 438 p. doi :
.