Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем , которые построил Ри из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина , которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает , которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах .

В отличие от групп Штейнберга , группы Ри не задаются точками редуктивной алгебраической группы , определённой над конечным полем. Другими словами, нет никакой «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри таким же образом, каким (скажем) унитарные группы связаны с группами Штейнберга. Однако существуют некоторые экзотические над несовершенными полями, построение которых связано с построением групп Ри, так как они используют те же экзотические автоморфизмы диаграммы Дынкина, которые меняют длины корней.

Титс определил группы Ри над бесконечными полями характеристики 2 и 3. Титс и Хи ввели группы Ри бесконечномерных .

Построение

Если X является диаграммой Дынкина, Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы, соответствующие X , в частности, дающие группы X ( F ) со значениями в поле F . Эти группы имеют следующие автоморфизмы:

• Любой автоморфизм ${\displaystyle \sigma }$ поля F порождает эндоморфизм ${\displaystyle \alpha _{\sigma }}$ группы X ( F )
• Любой автоморфизм ${\displaystyle \pi }$ диаграммы Дынкина порождает автоморфизм ${\displaystyle \alpha _{\pi }}$ группы X ( F ) .

Группы Штейнберга и Группы Шевалле можно построить как фиксированные точки эндоморфизма X ( F )для алгебраического замыкания поля F . Для групп Шевалле автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса группы F , в то время как для групп Штейнберга автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса, помноженным на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы B ₂ ( F ) и F ₄ ( F ) и над полями характеристики 3 группы G ₂ ( F ) имеют эндоморфизм, квадрат которого является эндоморфизмом ${\displaystyle \alpha _{\varphi }}$ , связанным с эндоморфизмом Фробениуса ${\displaystyle \varphi }$ поля F . Грубо говоря, этот эндоморфизм ${\displaystyle \alpha _{\pi }}$ приходит из автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где игнорируется длина корней.

Предположим, что поле F имеет эндоморфизм ${\displaystyle \sigma }$ , квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: ${\displaystyle \sigma _{2}=\varphi }$ . Тогда группа Ри определяется как группа элементов g из X ( F ) , таких что ${\displaystyle \alpha _{\pi }(g)=\alpha _{\sigma }(g)}$ . Если поле F совершенно, то ${\displaystyle \alpha _{\pi }}$ и ${\displaystyle \alpha _{\varphi }}$ являются автоморфизмами, а группа Ри является группой фиксированных точек инволюции ${\displaystyle \alpha _{\varphi }/\alpha _{\pi }}$ на X ( F ) .

В случае, когда F является конечным полем порядка p ^k (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса в точности, когда k = 2 n + 1 нечётно и в этом случае он единственнен. Таким образом, это даёт конечные группы Ри как подгруппы B ₂ (2 ^{2 n +1} ), F ₄ (2 ^{2 n +1} ) и G ₂ (3 ^{2 n +1} ), фиксированные по инволюции.

Группы Шевалле, группы Штейнберга и группы Ри

Связь между группами Шевалле, группами Штейнберга и группами Ри примерно такая. Если дана диаграмма Дынкина X , Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z , значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять фиксированные точки эндоморфизма ${\displaystyle \alpha }$ группы X ( F ) , где F — алгебраическое замыкание конечного поля, такое, что некоторая степень ${\displaystyle \alpha }$ является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса ${\displaystyle \varphi }$ . Возможны три случая

• Для групп Шевалле ${\displaystyle \alpha =\varphi ^{n}}$ для некоторого положительного целого n . В этом случае группа фиксированных точек является группой точек X , определённых конечным полем.
• Для групп Штейнберга ${\displaystyle \alpha ^{m}=\varphi ^{n}}$ для некоторых положительных целых m и n , при этом m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек является также группой точек кручёной (квазирасщеплённой) формы группы X , определённой над конечным полем.
• Для групп Ри, ${\displaystyle \alpha ^{m}=\varphi ^{n}}$ для некоторых положительных целых m , n , при этом m не делит n . На практике m =2 и n нечётно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. Они являются фиксированными точками порядка m =2 автоморфизмов группы, определённой над полем порядка p ⁿ с нечётным n и нет соответствующего поля порядка p ^{n /2} .

Группы Ри типа ² B ₂

Группы Ри типа ² B ₂ первым нашёл Судзуки , используя другой подход, и они обычно называются . Ри заметил, что их можно построить из групп типа B ₂ при использовании варианта построения Стайнберга . Ри понял, что похожее построение можно применить к диаграммам Дынкина F ₄ и G ₂ , что приводит к двум новым семействам конечных простых групп|.

Группы Ри типа ² G ₂

Группы Ри типа ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) ввёл Ри , который показал, что они все просты, за исключением первой группы ² G ₂ (3), которая изоморфна группе автоморфизмов SL ₂ (8) . Уилсон дал упрощённое построение групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 3 ^{2 n +1} элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.

Группа Ри имеет порядок ${\displaystyle q^{3}(q^{3}+1)(q-1)}$ , где ${\displaystyle q=3^{2n+1}}$

Мультипликатор Шура тривиален для n ≥ 1 и для ² G ₂ (3).

является циклической и имеет порядок ${\displaystyle 2n+1}$ .

Группа Ри иногда обозначается как Ree( q ), R( q ) или ${\displaystyle \mathrm {E} _{2}^{*}(q)}$

Группа Ри ${\displaystyle ^{2}\mathrm {G} _{2}(q)}$ имеет на ${\displaystyle q^{3}+1}$ точках и действует как автоморфизмы ${\displaystyle \mathrm {S} (2,q+1,q^{3}+1)}$ системы Штейнера . Она также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, будучи подгруппой G ₂ ( q ).

2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8. показывает, что только другие неабелевы конечные простые группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективными специальными линейными группами в размерности 2 и . Эти группы сыграли также роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z /2 Z × PSL ₂ ( q ) и при исследовании групп с централизатором инволюции похожего вида ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \times \mathrm {PSL} _{2}(5)}$ Янко нашёл спорадическую группу J ₁ . Клейдман обнаружил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа ² G ₂ исключительно трудно описывать. Томпсон изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом ${\displaystyle \sigma }$ конечного поля характеристики 3, и если квадрат этого автоморфизма является автоморфизмом Фробениуса, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм ${\displaystyle \sigma }$ . Наконец, Бомбиери использовал , чтобы показать, что условия Томпсона подразумевает, что ${\displaystyle \sigma ^{2}=3}$ во всех, кроме 178 небольших случаев, которые были исключены с помощью компьютера ( и Хант). Бомбиери узнал об этой задаче, прочитав статью о классификации Горенстейна , который предположил, что кто-то со стороны, не из теоретиков групп, поможет решить эту проблему. Ангеар дал объединённую сводку решения этой проблемы Томпсоном и Бомбиери.

Группы Ри типа ² F ₄

Группы Ри типа ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})}$ ввёл Ри . Они являются простыми, за исключением первой ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}(2)}$ , для которой Титс показал, что она имеет простую подгруппу индекса 2, которая теперь известна как группа Титса . Уилсон дал упрощённое построение групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 2 ^{2 n +1} , сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.

Группа Ри ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})}$ имеет порядок ${\displaystyle q^{12}}$ ${\displaystyle (q^{6}+1)}$ ${\displaystyle (q^{4}-1)}$ ${\displaystyle (q^{3}+1)}$ ${\displaystyle (q-1)}$ где ${\displaystyle q=2^{2n+1}}$ . Мультипликатор Шура тривиален. является циклической с порядком ${\displaystyle 2n+1}$ .

Эти группы Ри имеют необычные свойства, такие, что группа Коксетера пары (B, N) не является кристаллографической — это диэдральная группа порядка 16. Титс показал, что все получаются из групп Ри типа ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}}$ .

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

• от 3 марта 2016 на Wayback Machine