Группа Фробениуса
, или
фробениусова группа
—
транзитивная
группа перестановок на
конечном множестве
, такая, что каждый нетривиальный элемент фиксирует не более одной точки, и некоторый нетривиальный элемент фиксирует точку.
Пусть
G
— группа Фробениуса, состоящая из перестановок множества
X
.
Подгруппа
H
в
G
, фиксирующая точку, называется
дополнением Фробениуса
.
Единичный элемент вместе со всеми элементами, не входящими ни в одну сопряжённую с
H
подгруппу, образуют нормальную подгруппу
K
, называемую
ядром Фробениуса
.
Свойства
Группа Фробениуса
G
является полупрямым произведением ядра
K
и дополнения
H
:
.
Ядро Фробениуса является нильпотентной группой.
Если дополнение
H
имеет чётный порядок, то ядро
K
абелево.
Каждая подгруппа дополнения, порядок которой равен произведению 2 простых чисел, является циклической.
Это означает, что её
силовские подгруппы
являются циклическими или обобщенными группами кватернионов.
Любая группа, такая, что все подгруппы Силова циклические, называется Z-группой и, в частности, должна быть метациклической группой. Это означает, что она является расширением двух циклических групп.
Если дополнение
H
неразрешимо, то оно имеет нормальную подгруппу индекса 1 или 2, которая является произведением SL(2,5) и метациклической группы порядка 30.
В частности, если дополнение Фробениуса совпадает с его производной подгруппой, то оно изоморфно SL(2,5).
Если дополнение разрешимо, то оно имеет нормальную метациклическую подгруппу, факторгруппа по которой является подгруппой симметрической группы
.
Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет точное конечномерное представление над конечным полем, в котором неединичные элементы группы соответствуют линейным преобразованиям без ненулевых фиксированных точек.
Примеры
Самый маленький пример —
симметрическая группа
, состоящая из 6 элементов. Ядро Фробениуса имеет порядок 3, а дополнение порядок 2.
Для каждого
конечного поля
с
элементами группа обратимых аффинных преобразований, естественно действующих на
, является группой Фробениуса.
Предыдущий пример соответствует случаю
— полю с тремя элементами.
Диэдральная группа
порядка 2
n
с нечётным
n
— фробениусова с дополнением порядка 2.
Вообще, если
K
— любая абелева группа нечетного порядка, а
H
имеет порядок 2 и действует на
K
путем инверсии, то полупрямое произведение
K.H
является группой Фробениуса.
Многие другие примеры могут быть сгенерированы с помощью следующих конструкций.
Если заменить дополнение Фробениуса группы Фробениуса нетривиальной подгруппой, мы получим другую группу Фробениуса.
Если имеются две группы Фробениуса
и
, то
также фробениусова.
Если K — неабелева группа порядка 7
3
с экспонентой 7, а
H
— циклическая группа порядка 3, то существует группа Фробениуса
G
, которая является расширением
K.H
. Это был первый пример группы Фробениуса с неабелевым ядром (построен Отто Шмидтом).
Если H — группа SL(2,5) порядка 120, она свободно действует на 2-мерное векторное пространство K над полем с 11 элементами. Расширение
K.H
является наименьшим примером неразрешимой группы Фробениуса.
Подгруппа группы Зассенхауса, фиксирующая точку, является группой Фробениуса.
Теория представлений
Неприводимые комплексные представления группы Фробениуса
G
могут быть считаны из представлений
H
и
K.
Существует два типа
неприводимых представлений
G
:
Любое неприводимое представление
R
группы
H
даёт неприводимое представление
G
с использованием факторотображения из
G
в
H
(то есть как ограниченное представление). Они дают неприводимые представления
G
с подгруппой
K
, содержащейся в их ядре.
Если
S
— любое нетривиальное неприводимое представление
K
, то соответствующее индуцированное представление
G
также неприводимо. Они дают неприводимые представления
G
с подгруппой
K
, отсутствующей в их ядре.
Альтернативные определения
Существует ряд свойств, формулируемых в терминах теории групп, которые интересны сами по себе, но ещё и оказываются эквивалентными существованию у группы представления перестановками, которое делает её фробениусовой.
G
является группой Фробениуса тогда и только тогда, когда
G
имеет нетривиальную собственную подгруппу
H
, такую, что
— тривиальная подгруппа для любого
g
∈
G
−
H
.
Предполагая, что
—
полупрямое произведение
нормальной подгруппы
K
и дополнения
H
, следующие ограничения на
централизаторы
эквивалентны тому, что
G
является группой Фробениуса с дополнением Фробениуса
H
:
Централизатор
является подгруппой
K
для любого неединичного элемента
.
для любого неединичного элемента
.
для любого неединичного элемента
.
Литература
B. Huppert,
Endliche Gruppen I
, Springer 1967
I. M. Isaacs,
Character theory of finite groups
, AMS Chelsea 1976