Interested Article - Группа перестановок ранга 3

Группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве так, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты . Изучение этих групп начал Дональд Хигман . Некоторые спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.

Классификация

Примитивные группы перестановок ранга 3 распадаются на следующие классы:

  • Камерон классифицировал группы, такие, что , где цоколь T группы T 0 прост, а T 0 является 2-транзитивной группой степени .
  • Либек классифицировал группы с регулярными элементарными абелевыми нормальными подгруппами
  • Баннай классифицировал группы, цоколь которых является простой знакопеременной группой
  • Кантор классифицировал группы, цоколь которых является простой классической группой
  • Либек и Саксл классифицировали группы, цоколь которых является простой классической исключительной или спорадической группой

Пример

Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S , то её действие на пары элементов S является группой перестановок ранга 3 . В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матьё имеют 4-транзитивные действия, а потому принадлежат группам перестановок ранга 3.

Проективная полная линейная группа , действующая на прямые в проективном пространстве размерности как минимум 3, является группой перестановок ранга 3.

Некоторые являются группами перестановок ранга 3 (по действию на перестановки).

Как правило, точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одну из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это даёт некоторые «цепочки» групп перестановок ранга 3, такие как и цепочка, завершающаяся группами Фишера .

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 перечислены ниже (многие из них взяты из работы Либека и Саксла ).

Для каждой строки таблицы ниже, в столбце «размер» число слева от знака равно показателю группы перестановок перестановочной группы для группы перестановок, упомянутой в строке. Сумма справа от знака равно показывает длину трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы означает, что группа перестановок имеет показатель 15 и длины трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок равны 1, 6 и 8 соответственно.

Группа Стабилизатор точки размер Комментарии

15 = 1+6+8 Пары точек или множества из 3 блоков по 2 в 6-точечном представлением перестановок; два класса
120 = 1+56+63 Проективная прямая P 1 (8); два класса
126 = 1+25+100 Множество 2 блоков из 5 в естественном 10-точечном представлении перестановок
36 = 1+14+21 Пары точек в P 1 (8)
56 = 1+10+45 Гиперовалы в P 2 (4); три класса
117 = 1+36+80 Симплектические полярности P 3 (3); два класса
36 = 1+14+21
50 = 1+7+42 Действие на вершины графа Хоффмана — Синглтона ; три класса
162 = 1+56+105 Два класса
120 = 1+56+63 Группа Шевалле типа G 2 , действующая на алгебру октонионов над GF(2)
1080 = 1+351+728 Группа Шевалле типа G 2 , действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса
1408 = 1+567+840 Стабилизатор точки является образом линейного представления, получающегося от «понижения» комплексного представления группы Митчела (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
M 11 55 = 1+18+36 Пары точек в 11-точечном представлении перестановок
M 12
66 = 1+20+45 Пары точек или пары комплементарных блоков S(5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два класса
M 22 2 4 :A 6 77 = 1+16+60 Блоки S(3,6,22)
J 2 100 = 1+36+63 ; действие на вершины графа Холла — Янко
M 22 100 = 1+22+77 Действие на вершины графа Хигмана — Симса
M 22 176 = 1+70+105 Два класса
M 23

253 = 1+42+210 Пары точек в 23-точечном представлении перестановок
M 23 253 = 1+112+140 Блоки S(4,7,23)
275 = 1+112+162 Действие на вершины
M 24 276 = 1+44+231 Пары точек в 24-точечном представлении перестановок
G 2 (3) 351 = 1+126+244 Два класса
G 2 (4) J 2 416 = 1+100+315
M 24 1288 = 1+495+792 Пары комплементарных 12-точечных множеств в 24-точечном представлении перестановок
1782 = 1+416+1365
G 2 (4) 2016 = 1+975+1040
2300 = 1+891+1408
Группа Рудвалиса Ru 2 F 4 (2) 4060 = 1+1755+2304
3510 = 1+693+2816
14080 = 1+3159+10920 Два класса
2. Fi 22 31671 = 1+3510+28160
130816 = 1+32319+98496
137632 = 1+28431+109200
' Fi 23 306936 = 1+31671+275264

Примечания

  1. Не следует путать с группой 3-перестановок, которая представляет перестановки трёх элементов. На русском языке названия групп почти совпадают, на английском языке первая называется rank 3 permutation group , вторая — 3-transposition group .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
  9. . Тремя орбитами являются: сама фиксированная пара; пары, имеющие общий элемент с фиксированной парой; пары, не имеющие общих элементов с фиксированной парой.
  10. Когда обсуждается группа перестановок на множестве из n элементов, показатель группы — это число элементов в множестве, т.е. n . Не следует путать с порядком группы. Если G является группой общего вида, пусть означает наименьшее , такое, что G изоморфна подгруппе симметрической группы S . Число называется показателем группы G ( ). См. также Группа перестановок .

Литература

  • Eiichi Bannai. Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating groups // Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics. — 1971–72. — Т. 18 . — С. 475–486 . — ISSN .
  • Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989. — Т. 18. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]). — ISBN 978-3-540-50619-5 .
  • Peter J. Cameron. Finite permutation groups and finite simple groups // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1981. — Т. 13 , вып. 1 . — С. 1–22 . — ISSN . — doi : .
  • Donald G. Higman. Finite permutation groups of rank 3 // . — 1964. — Т. 86 . — С. 145–156 . — ISSN . — doi : .
  • Donald G. Higman. A survey of some questions and results about rank 3 permutation groups // . — Gauthier-Villars, 1971. — Т. 1. — С. 361–365. от 25 ноября 2017 на Wayback Machine
  • William M. Kantor, Robert A. Liebler. The rank 3 permutation representations of the finite classical groups // Transactions of the American Mathematical Society . — 1982. — Т. 271 , вып. 1 . — С. 1–71 . — ISSN . — doi : .
  • Martin W. Liebeck. The affine permutation groups of rank three // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1987. — Т. 54 , вып. 3 . — С. 477–516 . — ISSN . — doi : .
  • Martin W. Liebeck, Jan Saxl. The finite primitive permutation groups of rank three // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1986. — Т. 18 , вып. 2 . — С. 165–172 . — ISSN . — doi : .
  • Yakov Berkovich. // Journal of Algebra. — 1999. — Т. 214, . — С. 740-761 . (недоступная ссылка)
Источник —

Same as Группа перестановок ранга 3